Defina os seguintes termos adotados na análise de sistemas realimentados por meio do domínio da frequência:
  • Carta de Nichols.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o termo “Carta de Nichols”.
Informações que o enunciado dá: apenas o nome do termo a ser definido.
Pergunta a responder: fornecer uma definição clara e didática de “Carta de Nichols”.

Passo 2

O que é desenhado na Carta de Nichols — definição operacional.
Para um sistema realimentado, considere a função de laço em frequência L(j\omega) (também chamada de função de transferência em malha aberta avaliada em s=j\omega). A Carta de Nichols é o gráfico cujas coordenadas, para cada frequência \omega, são:
\big(\;\angle L(j\omega),\;20\log_{10}\!\big|L(j\omega)\big|\;\big).
Ou seja, no eixo horizontal fica a fase \angle L(j\omega) em graus e no eixo vertical fica o ganho em decibéis 20\log_{10}|L(j\omega)|. Cada ponto da carta corresponde ao valor complexo L(j\omega) mapeado para a dupla (fase, ganho em dB).

Passo 3

Relação com outras ferramentas (intuição).
  • A Carta de Nichols combina em um único gráfico as informações que, no diagrama de Bode, ficariam separadas (módulo e fase).
  • Em relação ao diagrama de Nyquist, a Carta de Nichols é uma representação alternativa: o Nyquist plota o valor complexo L(j\omega) como um trajeto no plano complexo, enquanto a Carta de Nichols apresenta esse mesmo trajeto projetado nas coordenadas (fase, nível em dB).

Passo 4

Como a Carta de Nichols incorpora informações sobre o sistema em malha fechada (contornos de resposta fechada).
A função de transferência em malha fechada de interesse normalmente é
T(j\omega)=\frac{L(j\omega)}{1+L(j\omega)}.
O módulo de T em termos de L é
\big|T(j\omega)\big|=\frac{\big|L(j\omega)\big|}{\big|1+L(j\omega)\big|} =\frac{\rho}{\sqrt{1+\rho^{2}+2\rho\cos\varphi}},
onde \rho=\big|L(j\omega)\big| e \varphi=\angle L(j\omega). Em dB, isso vira
20\log_{10}\big|T(j\omega)\big|=20\log_{10}\rho-10\log_{10}\!\big(1+\rho^{2}+2\rho\cos\varphi\big).
A Carta de Nichols costuma trazer desenhados contornos de magnitude de malha fechada (linhas de igual 20\log_{10}|T|) e, às vezes, contornos de fase de malha fechada. Esses contornos permitem ver diretamente, no plano (fase, ganho dB) do laço aberto, qual será o ganho fechado para aquele ponto do laço aberto.

Passo 5

Como ler margens de estabilidade na Carta de Nichols (prática para prova).
  • Margem de fase ( \text{PM}): encontre a frequência onde 20\log_{10}|L(j\omega)|=0\\ \text{dB}. Seja a fase nessa frequência \varphi_0. Então
\text{PM}=180^\circ+\varphi_0.
  • Margem de ganho ( \text{GM}, em dB): encontre a fase \varphi=-180^\circ e anote o ganho A_{\text{dB}}=20\log_{10}|L(j\omega_{180})| nesse ponto. Então a margem de ganho em dB é
\text{GM}_{\text{dB}}=-A_{\text{dB}}.
Na Carta de Nichols isso é simples porque já se tem a fase no eixo x e o ganho em dB no eixo y; basta localizar as interseções com a linha de 0\\ \text{dB} e a linha de -180^\circ.

Passo 6

Vantagens e uso prático (dicas para prova e projeto rápido).
  • Vantagens: junta magnitude e fase num só gráfico; com os contornos de malha fechada dá intuição direta sobre o ganho fechado, sobre pico de resposta e sobre compromisso entre ganho e fase durante o projeto de loop-shaping.
  • Uso típico: ajuste do ganho e da forma do laço aberto para obedecer especificações de margens, sobressinal, largura de banda, etc., sem precisar desenhar separadamente Bode e Nyquist.
  • Limitações: para alguns casos (muitos laços com atraso puro grande, não mínimas fases complicadas) pode ser menos intuitiva que Nyquist para testar estabilidade global, mas continua muito útil para projeto por ganho e fase.

Passo 7

Exemplo numérico curto (para fixar).
Considere um ponto do laço aberto em que L(j\omega)=2e^{-j60^\circ}. Então:
20\log_{10}\big|L\big|=20\log_{10}(2)\approx 6{,}02\\ \text{dB},\qquad \angle L=-60^\circ.
Na Carta de Nichols esse ponto aparece em (-60^\circ,\;6{,}02\\ \text{dB}). O módulo de malha fechada é
\big|T\big|=\frac{2}{\sqrt{1+2^{2}+2\cdot2\cos(-60^\circ)}}=\frac{2}{\sqrt{1+4+4\cdot\frac{1}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{7}}\approx0{,}756,
o que em dB é 20\log_{10}(0{,}756)\approx-2{,}43\\ \text{dB}. Esse valor corresponderia a um contorno de malha fechada que passa pelo ponto (-60^\circ,6{,}02\\ \text{dB}) na Carta de Nichols.

Passo 8

Como escrever uma definição curta e correta na prova (modelo).
Na prova, diga que a Carta de Nichols é um gráfico que plota a fase da função de laço em graus no eixo horizontal e o ganho em decibéis no eixo vertical, e que frequentemente traz contornos de resposta em malha fechada para auxiliar projeto por loop‑shaping e avaliação de margens.

Resposta

A Carta de Nichols é o gráfico que, para cada frequência \omega, plota o par \big(\angle L(j\omega),\;20\log_{10}\big|L(j\omega)\big|\big), ou seja, fase (em graus) no eixo horizontal e ganho em dB no eixo vertical; costuma incluir contornos de magnitude (e às vezes fase) da malha fechada \;T=\dfrac{L}{1+L}\; para facilitar análise e projeto por loop‑shaping (avaliação de margens e desempenho).

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