Defina variável aleatória discreta: v.a.d. (pesquise exemplo na sua área).

Passo 1

O que o enunciado pede: definir o que é uma variável aleatória discreta (v.a.d.) e dar um exemplo prático na área (ex.: engenharia/estatística).
Informações dadas: não há dados numéricos nem figura — apenas a solicitação da definição e exemplo.

Passo 2

Definição formal (sem complicar): uma variável aleatória discreta é uma função que atribui números a resultados aleatórios, mas que só pode assumir um conjunto contável de valores.
Mais precisamente: seja \Omega o espaço amostral (conjunto de resultados possíveis de um experimento). Uma variável aleatória X é discreta se o conjunto
\{x\in\mathbb{R}\mid P(X=x)>0\}
é finito ou numerável (contável). Esse conjunto chama-se suporte de X. Não precisa decorar: o ponto-chave é “assume valores isolados, contáveis (0,1,2,3,…)”, em vez de “qualquer valor num intervalo” (que seria contínua).

Passo 3

A forma prática de trabalhar com v.a.d. é via função massa de probabilidade (pmf). Definimos a pmf de X por
p_X(x)=P(X=x),\quad x\in\mathbb{R}.
Propriedades da pmf:
  1. Para todo x, p_X(x)\ge 0.
  2. Somando as probabilidades em todos os valores possíveis obtemos 1:
\sum_{x\in\text{suporte}} p_X(x)=1.
  1. Para qualquer subconjunto A de valores possíveis,
P(X\in A)=\sum_{x\in A} p_X(x).
Essas são as ferramentas que você vai usar numa prova para calcular probabilidades com v.a.d.

Passo 4

Função de distribuição acumulada (CDF) para v.a.d.:
F_X(t)=P(X\le t)=\sum_{\substack{x\le t\\\ x\in\text{suporte}}} p_X(x).
No caso discreto, a CDF é uma função em degraus: ela aumenta somente nos pontos do suporte.

Passo 5

Esperança e variância (fórmulas e interpretação):
  • Esperança (valor médio):
\mathbb{E}[X]=\sum_{x\in\text{suporte}} x\,p_X(x).
Interpretação: média ponderada dos valores possíveis, pesos dados pelas probabilidades.
  • Variância:
\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}\big[(X-\mathbb{E}[X])^2\big]=\sum_{x\in\text{suporte}} (x-\mathbb{E}[X])^2 p_X(x).
Alternativamente use \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2, onde \mathbb{E}[X^2]=\sum x^2 p_X(x).
Dica prática: calcule \mathbb{E}[X] primeiro, depois \mathbb{E}[X^2] para achar a variância sem muita álgebra repetida.

Passo 6

Exemplo clássico e muito usado em engenharia/estatística: v.a.d. Binomial — modela “número de peças defeituosas numa amostra de tamanho \,n”, quando cada peça tem probabilidade p de ser defeituosa e os ensaios são independentes.
Definição: X\sim\mathrm{Bin}(n,p) com suporte \{0,1,\dots,n\} e
P(X=k)=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{\,n-k},\quad k=0,1,\dots,n.
Significado das letras: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas; p é probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 7

Exemplo numérico passo a passo (para ver na prática como usar a pmf e as fórmulas): suponha n=5 e p=\tfrac{1}{3}. Queremos P(X=2), \mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(X) para X\sim\mathrm{Bin}(5,\tfrac{1}{3}).
  1. Calcule \binom{5}{2}=10.
  2. Use a pmf:
P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\left(\tfrac{2}{3}\right)^3 =10\cdot\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{8}{27} =10\cdot\tfrac{8}{243} =\tfrac{80}{243}.
  1. Esperança (fórmula conhecida para Binomial):
\mathbb{E}[X]=np=5\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{3}.
  1. Variância (fórmula conhecida para Binomial):
\mathrm{Var}(X)=np(1-p)=5\cdot\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{10}{9}.
Esses cálculos mostram como operar sem calculadora usando frações e combinações — sempre tente escolher representações que simplifiquem as contas se puder (frações simples, números pequenos).

Passo 8

Como reconhecer v.a.d. em questões de prova (dicas rápidas):
  • Se a variável conta coisas (número de falhas, número de sucessos, número de eventos), é quase sempre discreta.
  • Se a variável pode assumir qualquer valor num intervalo contínuo (tempo contínuo, comprimento com precisão infinita), é contínua — cuidado com “tempo contado em segundos”, às vezes modelamos como discreto por simplificação.
  • Verifique se o enunciado fornece uma pmf explícita (aí é discreta).

Passo 9

Principais distribuições discretas que caem em provas e quando usar:
  • Bernoulli: X\in\{0,1\}, sucesso/falha.
  • Binomial: número de sucessos em n ensaios independentes.
  • Geométrica: número de ensaios até o primeiro sucesso.
  • Poisson: conta de eventos raros por unidade (tempo/área) — útil em engenharia de filas e confiabilidade.
  • Hipergeométrica: número de sucessos sem reposição (amostragem sem reposição).
    Decore a forma da pmf, a esperança e a variância de cada uma — na prova isso salva tempo.

Passo 10

Resumo prático e motivação final: pense em v.a.d. como “variáveis que contam coisas” e trabalhe sempre com a pmf \,p_X(x)=P(X=x). Para resolver questões, identifique o suporte, escreva a pmf, verifique soma igual a 1, e aplique somas (para probabilidades cumulativas), ou as fórmulas de \mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(X). Você consegue — faça exercícios de Binomial/Poisson/Bernoulli que o professor indicou e repita esses passos em cada exercício. Força aí, você chega lá!

Resposta

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória X cuja imagem (conjunto de valores com P(X=x)>0) é finita ou numerável; ela é descrita por uma função massa de probabilidade p_X(x)=P(X=x) com \sum_{x}p_X(x)=1.
Exemplo (área de engenharia/estatística): número de peças defeituosas numa amostra de n peças, modelado por X\sim\mathrm{Bin}(n,p) com P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.

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