Definição 11 Seja
um polinômio em
e seja
um operador linear sobre um espaço vetorial real de dimensão finita. Então
é o operador:
Quando
dizemos que o polinômio anula o operador
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está falando. Estamos tratando de polinômios e operadores lineares em um espaço vetorial. O que precisamos entender aqui é como aplicar um polinômio a um operador linear. A definição nos mostra que, dado um polinômio
e um operador linear
, podemos construir um novo operador
combinando potências de
com os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Imagine que
é uma função que pega vetores de um espaço vetorial
e os transforma em outros vetores de
, de maneira que respeita duas propriedades importantes: adição e escalamento. Ou seja,
e
para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre polinômios aplicados a operadores. Quando temos
, estamos basicamente substituindo a variável
por
no polinômio. Então,
, onde
é o operador identidade (que não muda o vetor, ou seja,
para todo
em
).
Passo 4
As potências de
, como
ou
, significam aplicar o operador várias vezes. Por exemplo,
, e assim por diante. Isso é útil porque permite construir operadores mais complexos a partir de
.
Passo 5
A parte interessante vem quando
. Isso significa que, quando aplicamos o polinômio
ao operador
, o resultado é o operador zero (que transforma qualquer vetor em zero). Dizemos então que o polinômio
anula o operador
.
Resposta
Em resumo, a definição mostra como aplicar um polinômio a um operador linear para obter um novo operador. Quando esse operador resultante é o operador zero, dizemos que o polinômio anula o operador. Isso é fundamental para entender conceitos como polinômios mínimos e teorema de Cayley-Hamilton em álgebra linear.