Definição 11 Seja p(x)=an x^n+an-1 x^n-1+ldots+a1 x+a0 um polinômio em R[x] e seja T: V V um operador linear sobre um espaço vetorial real de dimensão finita. Então p(T) é o operador:
p(T)=an T^n+an-1 T^n-1+ldots+a1 T+a0 I d
Quando p(T) equiv 0 dizemos que o polinômio anula o operador T.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está falando. Estamos tratando de polinômios e operadores lineares em um espaço vetorial. O que precisamos entender aqui é como aplicar um polinômio a um operador linear. A definição nos mostra que, dado um polinômio e um operador linear , podemos construir um novo operador combinando potências de com os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Imagine que é uma função que pega vetores de um espaço vetorial e os transforma em outros vetores de , de maneira que respeita duas propriedades importantes: adição e escalamento. Ou seja, e para quaisquer vetores em e qualquer escalar .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre polinômios aplicados a operadores. Quando temos , estamos basicamente substituindo a variável por no polinômio. Então, , onde é o operador identidade (que não muda o vetor, ou seja, para todo em ).

Passo 4

As potências de , como ou , significam aplicar o operador várias vezes. Por exemplo, , e assim por diante. Isso é útil porque permite construir operadores mais complexos a partir de .

Passo 5

A parte interessante vem quando . Isso significa que, quando aplicamos o polinômio ao operador , o resultado é o operador zero (que transforma qualquer vetor em zero). Dizemos então que o polinômio anula o operador .

Resposta

Em resumo, a definição mostra como aplicar um polinômio a um operador linear para obter um novo operador. Quando esse operador resultante é o operador zero, dizemos que o polinômio anula o operador. Isso é fundamental para entender conceitos como polinômios mínimos e teorema de Cayley-Hamilton em álgebra linear.

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