Definimos
("nem
nem
", ou “flecha de Peirce”) da seguinte forma:
é verdadeira somente se ambas as proposições
e
forem falsas. Nos demais casos,
é falsa. Justifique que
a)
(por isto esta operação também é conhecida como NOU (NOR em inglês)
b)
c)
d) Toda proposição envolvendo os conectivos
é logicamente equivalente a uma proposição envolvendo somente o conectivo
. (Basta mostrar análogos aos itens b, c para cada um desses conectivos)
OBS. Sheffer (1882-1964) em 1913 provou que todas as expressões lógicas poderiam ser escritas em função de uma única operação lógica, no caso
.
a)
b)
c)
d) Toda proposição envolvendo os conectivos
OBS. Sheffer (1882-1964) em 1913 provou que todas as expressões lógicas poderiam ser escritas em função de uma única operação lógica, no caso
Passo 1
O enunciado define a operação “nor”
como verdadeira somente se ambas
e
forem falsas. Precisamos mostrar:
a)
b)
c)
d) Que qualquer fórmula com pode ser reescrita usando só
.
Usaremos tabelas-verdade e equivalências lógicas.
a)
b)
c)
d) Que qualquer fórmula com
Usaremos tabelas-verdade e equivalências lógicas.
Passo 2
Para (a) comparamos, em tabela-verdade, as colunas de
e de
:
As últimas duas colunas coincidem em todas as linhas, logo
Passo 3
Para (b) basta aplicar (a) com
:
Passo 4
Em (c) note que, por (b),
é
.
Então
Então
Passo 5
Para (d), já vimos que
e
saem de
. Como o conjunto
é funcionalmente completo, qualquer conector
se obtém via equivalências conhecidas e, em cada uma delas, basta substituir
e
pelas fórmulas em
. Por exemplo:
e assim por diante. Portanto,
só é suficiente.
Resposta
a)
.
b) .
c) .
d) A operação é funcionalmente completa: qualquer fórmula com
pode ser reescrita usando apenas
.
b)
c)
d) A operação