Demonstrar que se
e
para todo
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos uma função
que tende a zero quando
se aproxima de
e outra função
limitada por uma constante
, então o produto
também tende a zero. O conteúdo aqui é a definição de limite de funções e uso de desigualdade para funções limitadas.
Passo 2
Vamos usar a definição de limite de
. Como
, dado
, existe
tal que sempre que
valha
Passo 3
Sabendo que
para todo
, podemos estimar o produto:
Passo 4
Juntando as duas desigualdades, sempre que
temos
Isso mostra que
se aproxima de zero quando
.