Demonstrar que se lim x a g(x)=0 e |h(x)| <= M>0 para todo x, então lim x a g(x) cdot h(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos uma função g(x) que tende a zero quando x se aproxima de a e outra função h(x) limitada por uma constante M>0, então o produto g(x)h(x) também tende a zero. O conteúdo aqui é a definição de limite de funções e uso de desigualdade para funções limitadas.

Passo 2

Vamos usar a definição de limite de g(x). Como limxto ag(x)=0, dado varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que 0<|x-a| valha
|g(x)-0|

Passo 3

Sabendo que |h(x)|<= M para todo x, podemos estimar o produto:
|g(x)h(x)-0|=|g(x)|cdot|h(x)|<=|g(x)|cdot M

Passo 4

Juntando as duas desigualdades, sempre que 0<|x-a| temos
|g(x)h(x)|<= M,|g(x)|
Isso mostra que g(x)h(x) se aproxima de zero quando xto a.

Resposta

limxto ag(x)h(x)=0.

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