- Demonstrar a proposição:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a proposição
ou seja, mostrar que
é divisível por
para os valores de
que estamos considerando (assumimos
). Informações fornecidas: a expressão
e o número
(queremos provar divisibilidade).
Passo 2
O que significa "
"? Significa que existe um inteiro
tal que
Vou usar o princípio da indução matemática para provar que
vale para todo
. Rápida explicação do método (pra você não se perder): indução tem duas etapas:
- Base: provar que
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um arbitrário (hipótese indutiva) e então provar que isso implica .
Se essas duas etapas funcionam, concluímos quevale para todo .
Passo 3
Base da indução (
). Calcular
:
Como
, existe um inteiro (aqui
) tal que
. Logo
. A base está comprovada.
Passo 4
Hipótese indutiva. Suponha que, para algum
, a proposição seja verdadeira; isto é, suponha que exista um inteiro
tal que
Vou usar essa igualdade para mostrar que
também é verdadeira.
Passo 5
Expressar
em termos de
. Fazendo as contas:
Agora vou reorganizar essa expressão para aproveitar a hipótese indutiva. Subtraio e somo
convenientemente:
Essa manipulação é só álgebra elementar: fatoramos
em dois termos e adicionamos
para compensar.
Passo 6
Aplicar a hipótese indutiva
na expressão obtida:
Colocando em fator comum
:
Como
é inteiro,
também é inteiro. Portanto
, ou seja, existe um inteiro (especificamente
) que multiplica
para dar
. Isso mostra que
. Assim
.
Passo 7
Concluímos pela indução matemática: já mostramos
e que
implica
. Portanto
é verdadeira para todo
. (Se quiser uma observação alternativa rápida: também se pode ver que
, logo
, implicando
; mas a prova por indução acima já resolve o problema sem usar notação de congruência.)