1. Demonstrar a proposição:
P(n): 3 \mid\left(2^{2 n}-1\right),

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a proposição
P(n):\;3 \mid\left(2^{2n}-1\right),
ou seja, mostrar que 2^{2n}-1 é divisível por 3 para os valores de n que estamos considerando (assumimos n\in\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}). Informações fornecidas: a expressão 2^{2n}-1 e o número 3 (queremos provar divisibilidade).

Passo 2

O que significa " 3\mid(2^{2n}-1) "? Significa que existe um inteiro k tal que
2^{2n}-1 = 3k.
Vou usar o princípio da indução matemática para provar que P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}. Rápida explicação do método (pra você não se perder): indução tem duas etapas:
  1. Base: provar que P(1) é verdadeira.
  2. Passo indutivo: assumir que P(n) é verdadeira para um n arbitrário (hipótese indutiva) e então provar que isso implica P(n+1).
    Se essas duas etapas funcionam, concluímos que P(n) vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Calcular 2^{2\cdot 1}-1:
2^{2}-1 = 4-1 = 3.
Como 3 = 3\cdot 1, existe um inteiro (aqui k=1) tal que 2^{2}-1=3k. Logo 3\mid(2^{2}-1). A base está comprovada.

Passo 4

Hipótese indutiva. Suponha que, para algum n\in\mathbb{N}, a proposição seja verdadeira; isto é, suponha que exista um inteiro k tal que
2^{2n}-1 = 3k.
Vou usar essa igualdade para mostrar que P(n+1) também é verdadeira.

Passo 5

Expressar 2^{2(n+1)}-1 em termos de 2^{2n}. Fazendo as contas:
2^{2(n+1)}-1 = 2^{2n+2}-1 = 4\cdot 2^{2n}-1.
Agora vou reorganizar essa expressão para aproveitar a hipótese indutiva. Subtraio e somo 4 convenientemente:
4\cdot 2^{2n}-1 = 4\cdot 2^{2n}-4 + 3 = 4\bigl(2^{2n}-1\bigr) + 3.
Essa manipulação é só álgebra elementar: fatoramos 4 em dois termos e adicionamos 3 para compensar.

Passo 6

Aplicar a hipótese indutiva 2^{2n}-1 = 3k na expressão obtida:
4\bigl(2^{2n}-1\bigr) + 3 = 4\cdot(3k) + 3 = 12k + 3.
Colocando em fator comum 3:
12k + 3 = 3(4k + 1).
Como k é inteiro, 4k+1 também é inteiro. Portanto 2^{2(n+1)}-1 = 3(4k+1), ou seja, existe um inteiro (especificamente 4k+1) que multiplica 3 para dar 2^{2(n+1)}-1. Isso mostra que 3\mid\bigl(2^{2(n+1)}-1\bigr). Assim P(n)\Rightarrow P(n+1).

Passo 7

Concluímos pela indução matemática: já mostramos P(1) e que P(n) implica P(n+1). Portanto P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. (Se quiser uma observação alternativa rápida: também se pode ver que 2\equiv -1\pmod{3}, logo 2^{2n}\equiv (-1)^{2n}=1\pmod{3}, implicando 2^{2n}-1\equiv 0\pmod{3}; mas a prova por indução acima já resolve o problema sem usar notação de congruência.)

Resposta

P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}; isto é, 3\mid\bigl(2^{2n}-1\bigr) para todo n\in\mathbb{N}.

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