Demonstre (com cálculos) que o fator de empacotamento da estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) é menor do que o da cúbica de faces centradas (CFC). Explicite os valores encontrados para as duas estruturas.
(1,25 pontos)
(1,25 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar com cálculos que o fator de empacotamento da estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, também chamada BCC) é menor do que o da cúbica de faces centradas (CFC, também chamada FCC), e explicitar os valores numéricos encontrados para as duas estruturas.
Dados e informações relevantes que o enunciado dá (implícitas pelo problema):
Dados e informações relevantes que o enunciado dá (implícitas pelo problema):
- Queremos o fator de empacotamento (também chamado fração de empacotamento ou packing fraction) de duas redes cristalinas cúbicas: CCC (BCC) e CFC (FCC).
- Vamos usar a célula unitária cúbica de aresta
e o raio atômico (átomos modelados como esferas). - É necessário relacionar
com em cada estrutura e calcular o volume ocupado pelas esferas dentro da célula unitária.
Não se resolve nada neste passo; apenas identifiquei o que é pedido e quais informações serão usadas.
Passo 2
Definição do que vamos calcular e fórmulas fundamentais (aulas rápidas e explicadas):
- O fator de empacotamento
é a razão entre o volume total ocupado pelas esferas (átomos) dentro da célula unitária e o volume da própria célula unitária:
- Volume de uma esfera (átomo) de raio
:
Expliquei: nesta fórmula,
é o raio da esfera;
é a constante ~3,14159.
- Contagem de átomos por célula unitária (explicando o porquê das frações):
- Cada canto da célula cúbica contribui com
de átomo para a célula (porque 8 células se encontram num canto). - Cada centro de face contribui com
de átomo (duas células compartilham essa face). - Um átomo no interior (centro do corpo) pertence totalmente à célula (contribui com
).
- Cada canto da célula cúbica contribui com
- Aplicando isso:
- Para CCC (BCC):
cantos átomo de cantos + átomo no centro do corpo total átomos por célula. - Para CFC (FCC):
cantos + faces total átomos por célula.
Vou usar essas contagens ao calcular o volume de átomos na célula.
- Para CCC (BCC):
Passo 3
Relação entre
e
para CCC (BCC) — explicação geométrica passo a passo:
- Na estrutura BCC, há um átomo no centro da célula e átomos nos cantos. Os átomos do canto tocam o átomo do centro ao longo da diagonal espacial (diagonal do cubo, ou diagonal do corpo).
- Comprimento da diagonal do corpo do cubo que vai de
até é . - O átomo do centro está no ponto
; a distância do canto ao centro é metade da diagonal do corpo:
- Essa distância é igual à soma dos raios dos dois átomos que se tocam (o do canto e o do centro). Como ambos têm raio
, soma é . Assim:
- Isolando
:
Expliquei: esse passo é só geometria elemental do cubo e da condição de contato esfera-esfera.
Passo 4
Cálculo detalhado do fator de empacotamento para CCC (BCC):
- Número de átomos por célula:
(do Passo 2). - Volume total das esferas na célula:
- Volume da célula unitária (cubo de aresta
):
Usamos a relação
do Passo 3. Então:
Expliquei: calculei o cubo da fração com cuidado (potência 3 no numerador e denominador).
- Fator de empacotamento
:
Expliquei cada cancelamento: os fatores
e
cancelam, sobrando a expressão acima.
- Valor numérico (aproximação): calculando
:
Passo 5
Relação entre
e
para CFC (FCC) — explicação geométrica passo a passo:
- Na estrutura FCC, átomos estão nos cantos e nos centros das faces. Átomos vizinhos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo.
- Comprimento da diagonal de uma face (por exemplo do ponto
a ) é . - Nessa diagonal da face há um átomo no canto, outro no centro da face (entre os cantos) e depois o outro canto; a distância entre os dois cantos ao longo da diagonal vale
e corresponde a quatro raios (duas esferas de raio lado a lado com a do centro entre elas): portanto
Ou, visto de modo equivalente, a distância canto–centro de face é
.
- Isolando
:
Passo 6
Cálculo detalhado do fator de empacotamento para CFC (FCC):
- Número de átomos por célula:
(do Passo 2). - Volume total das esferas na célula:
- Volume da célula unitária usando
:
Expliquei:
.
- Fator de empacotamento
:
Expliquei: novamente os
e o 16 simplificam, sobrando
.
- Valor numérico (aproximação): calculando
:
Passo 7
Comparação final e conclusão (explicada de forma direta e encorajadora):
- Encontramos
- Como
, concluímos que o fator de empacotamento da CCC (BCC) é realmente menor do que o da CFC (FCC).
Parabéns — você agora tem a demonstração com os cálculos completos e sabe exatamente de onde vêm as relaçõesversus e como se obtém as frações de empacotamento.