Demonstre (com cálculos) que o fator de empacotamento da estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) é menor do que o da cúbica de faces centradas (CFC). Explicite os valores encontrados para as duas estruturas.
(1,25 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar com cálculos que o fator de empacotamento da estrutura cúbica de corpo centrado (CCC, também chamada BCC) é menor do que o da cúbica de faces centradas (CFC, também chamada FCC), e explicitar os valores numéricos encontrados para as duas estruturas.
Dados e informações relevantes que o enunciado dá (implícitas pelo problema):
  • Queremos o fator de empacotamento (também chamado fração de empacotamento ou packing fraction) de duas redes cristalinas cúbicas: CCC (BCC) e CFC (FCC).
  • Vamos usar a célula unitária cúbica de aresta a e o raio atômico r (átomos modelados como esferas).
  • É necessário relacionar a com r em cada estrutura e calcular o volume ocupado pelas esferas dentro da célula unitária.
    Não se resolve nada neste passo; apenas identifiquei o que é pedido e quais informações serão usadas.

Passo 2

Definição do que vamos calcular e fórmulas fundamentais (aulas rápidas e explicadas):
  • O fator de empacotamento P é a razão entre o volume total ocupado pelas esferas (átomos) dentro da célula unitária e o volume da própria célula unitária:
P=\frac{\text{volume total das esferas dentro da célula}}{\text{volume da célula unitária}}.ééá
  • Volume de uma esfera (átomo) de raio r:
V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^{3}.
Expliquei: nesta fórmula, r é o raio da esfera; \pi é a constante ~3,14159.
  • Contagem de átomos por célula unitária (explicando o porquê das frações):
    • Cada canto da célula cúbica contribui com 1/8 de átomo para a célula (porque 8 células se encontram num canto).
    • Cada centro de face contribui com 1/2 de átomo (duas células compartilham essa face).
    • Um átomo no interior (centro do corpo) pertence totalmente à célula (contribui com 1).
  • Aplicando isso:
    • Para CCC (BCC): 8 cantos \Rightarrow 8\cdot\frac{1}{8}=1 átomo de cantos + 1 átomo no centro do corpo \Rightarrow total N_{\text{BCC}}=2 átomos por célula.
    • Para CFC (FCC): 8 cantos \Rightarrow 1 + 6 faces \Rightarrow 6\cdot\frac{1}{2}=3 \Rightarrow total N_{\text{FCC}}=4 átomos por célula.
      Vou usar essas contagens ao calcular o volume de átomos na célula.

Passo 3

Relação entre a e r para CCC (BCC) — explicação geométrica passo a passo:
  • Na estrutura BCC, há um átomo no centro da célula e átomos nos cantos. Os átomos do canto tocam o átomo do centro ao longo da diagonal espacial (diagonal do cubo, ou diagonal do corpo).
  • Comprimento da diagonal do corpo do cubo que vai de (0,0,0) até (a,a,a) é \sqrt{a^{2}+a^{2}+a^{2}}=\sqrt{3}\,a.
  • O átomo do centro está no ponto (a/2,a/2,a/2); a distância do canto ao centro é metade da diagonal do corpo:
\text{distância canto-centro}=\frac{\sqrt{3}\,a}{2}.â
  • Essa distância é igual à soma dos raios dos dois átomos que se tocam (o do canto e o do centro). Como ambos têm raio r, soma é 2r. Assim:
\frac{\sqrt{3}\,a}{2}=2r.
  • Isolando a:
a=\frac{4r}{\sqrt{3}}.
Expliquei: esse passo é só geometria elemental do cubo e da condição de contato esfera-esfera.

Passo 4

Cálculo detalhado do fator de empacotamento para CCC (BCC):
  • Número de átomos por célula: N_{\text{BCC}}=2 (do Passo 2).
  • Volume total das esferas na célula:
V_{\text{átomos,BCC}}=N_{\text{BCC}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=2\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{8}{3}\pi r^{3}.á
  • Volume da célula unitária (cubo de aresta a):
V_{\text{célula}}=a^{3}.é
Usamos a relação a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}} do Passo 3. Então:
a^{3}=\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64\,r^{3}}{3\sqrt{3}}.
Expliquei: calculei o cubo da fração com cuidado (potência 3 no numerador e denominador).
  • Fator de empacotamento P_{\text{BCC}}:
P_{\text{BCC}}=\frac{V_{\text{átomos,BCC}}}{V_{\text{célula}}} =\frac{\dfrac{8}{3}\pi r^{3}}{\dfrac{64\,r^{3}}{3\sqrt{3}}} =\frac{8\pi}{64}\sqrt{3} =\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.áé
Expliquei cada cancelamento: os fatores r^{3} e \tfrac{1}{3} cancelam, sobrando a expressão acima.
  • Valor numérico (aproximação): calculando \pi\sqrt{3}/8:
P_{\text{BCC}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}68017\quad(\text{aprox. }0{,}6802).

Passo 5

Relação entre a e r para CFC (FCC) — explicação geométrica passo a passo:
  • Na estrutura FCC, átomos estão nos cantos e nos centros das faces. Átomos vizinhos se tocam ao longo da diagonal da face do cubo.
  • Comprimento da diagonal de uma face (por exemplo do ponto (0,0,0) a (a,a,0)) é \sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}\,a.
  • Nessa diagonal da face há um átomo no canto, outro no centro da face (entre os cantos) e depois o outro canto; a distância entre os dois cantos ao longo da diagonal vale \sqrt{2}\,a e corresponde a quatro raios (duas esferas de raio r lado a lado com a do centro entre elas): portanto
\sqrt{2}\,a=4r.
Ou, visto de modo equivalente, a distância canto–centro de face é \dfrac{\sqrt{2}\,a}{2}=2r.
  • Isolando a:
a=\frac{4r}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,r.

Passo 6

Cálculo detalhado do fator de empacotamento para CFC (FCC):
  • Número de átomos por célula: N_{\text{FCC}}=4 (do Passo 2).
  • Volume total das esferas na célula:
V_{\text{átomos,FCC}}=N_{\text{FCC}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=4\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{16}{3}\pi r^{3}.á
  • Volume da célula unitária usando a=2\sqrt{2}\,r:
a^{3}=(2\sqrt{2}\,r)^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}\,r^{3}=16\sqrt{2}\,r^{3}.
Expliquei: (2\sqrt{2})^{3}=2^{3}\cdot(\sqrt{2})^{3}=8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.
  • Fator de empacotamento P_{\text{FCC}}:
P_{\text{FCC}}=\frac{V_{\text{átomos,FCC}}}{V_{\text{célula}}} =\frac{\dfrac{16}{3}\pi r^{3}}{16\sqrt{2}\,r^{3}} =\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.áé
Expliquei: novamente os r^{3} e o 16 simplificam, sobrando \pi/(3\sqrt{2}).
  • Valor numérico (aproximação): calculando \pi/(3\sqrt{2}):
P_{\text{FCC}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048.

Passo 7

Comparação final e conclusão (explicada de forma direta e encorajadora):
  • Encontramos
P_{\text{BCC}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}68017, \qquad P_{\text{FCC}}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048.
  • Como 0{,}68017<0{,}74048, concluímos que o fator de empacotamento da CCC (BCC) é realmente menor do que o da CFC (FCC).
    Parabéns — você agora tem a demonstração com os cálculos completos e sabe exatamente de onde vêm as relações a versus r e como se obtém as frações de empacotamento.

Resposta

P_{\text{BCC}}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx 0{,}68017
P_{\text{FCC}}=\dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx 0{,}74048

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