a) Demonstre o fator de empacotamento atômico do ferro puro a temperatura ambiente e a 920C.
b) O que acontece quando o ferro atinge essa temperatura e qual o nome dessa propriedade que certos materiais possuem?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Demonstrar (ou seja, deduzir matematicamente) o fator de empacotamento atômico do ferro puro a temperatura ambiente e a 920^\circ\mathrm{C}.
  2. Dizer o que acontece quando o ferro atinge essa temperatura e nomear a propriedade responsável por isso.
Informações relevantes que usaremos (não são resoluções, apenas dados/fatos que o problema exige saber):
  • O fator de empacotamento atômico (APF) é definido como a razão entre o volume ocupado pelos átomos dentro de uma célula unitária e o volume total da célula unitária.
  • A estrutura cristalina do ferro muda com a temperatura: abaixo de aproximadamente 912^\circ\mathrm{C} o ferro é a forma \alpha-Fe (estrutura cúbica de corpo centrado, BCC) e acima dessa temperatura, por exemplo a 920^\circ\mathrm{C}, ele está na forma \gamma-Fe (estrutura cúbica de faces centradas, FCC). Usarei esses fatos na demonstração.

Passo 2

Definição e estratégia de cálculo do APF (aula curta e prática).
  • Definição: o APF é
\text{APF}=\frac{\text{volume total dos átomos na célula unitária}}{\text{volume da célula unitária}}.áéáéá
  • Para calcular precisamos de três coisas: quantos átomos efetivos há na célula unitária, o volume de um átomo (modelado como esfera de raio atômico R) e o volume da célula (lado a da rede cúbica).
  • Volume de uma esfera (átomo): \displaystyle V_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}á.
  • Volume de célula cúbica: \displaystyle V_{\text{célula}}=a^{3}é.
    Nos passos seguintes vou aplicar essa receita separadamente para BCC e FCC, explicando geometricamente como obter a em termos de R.

Passo 3

Demonstração do APF para a estrutura BCC (usada pelo ferro à temperatura ambiente).
  1. Contagem de átomos por célula em BCC: há 8 cantos com 1/8 de átomo em cada e 1 átomo inteiro no centro, logo átomo efetivo por célula:
N_{\text{BCC}}=8\cdot\frac{1}{8}+1=2.
  1. Geometria (como os átomos tocam): em BCC os átomos se tocam ao longo da diagonal do cubo (diagonal corporal). A diagonal corporal tem comprimento \sqrt{3}\,a e é igual a 4R (dois raios do canto mais dois do átomo central, porque o átomo central toca os cantos ao longo dessa diagonal). Assim,
\sqrt{3}\,a = 4R \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4R}{\sqrt{3}}.
  1. Volume da célula:
V_{\text{célula}}=a^{3}=\left(\frac{4R}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{64R^{3}}{3\sqrt{3}}.é
  1. Volume total dos átomos na célula:
V_{\text{átomos}}=N_{\text{BCC}}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=2\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{8}{3}\pi R^{3}.á
  1. APF (colocando tudo junto e simplificando):
\text{APF}_{\text{BCC}}=\frac{\dfrac{8}{3}\pi R^{3}}{\dfrac{64R^{3}}{3\sqrt{3}}} =\frac{8\pi}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{64} =\frac{\pi\sqrt{3}}{8}.
  1. Valor numérico (aproximação): usando \pi\approx3,1416 e \sqrt{3}\approx1,7321,
\text{APF}_{\text{BCC}}\approx\frac{3,1416\cdot1,7321}{8}\approx0,680.

Passo 4

Demonstração do APF para a estrutura FCC (usada pelo ferro em 920^\circ\mathrm{C}).
  1. Contagem de átomos por célula em FCC: 8 cantos com 1/8 cada mais 6 faces com 1/2 cada, então
N_{\text{FCC}}=8\cdot\frac{1}{8}+6\cdot\frac{1}{2}=1+3=4.
  1. Geometria (como os átomos tocam): em FCC os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. A diagonal da face tem comprimento \sqrt{2}\,a e corresponde a 4R (dois raios de cada átomo que se tocam na diagonal da face). Assim,
\sqrt{2}\,a=4R \quad\Rightarrow\quad a=\frac{4R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\,R.
  1. Volume da célula:
V_{\text{célula}}=a^{3}=(2\sqrt{2}\,R)^{3}=16\sqrt{2}\,R^{3}.é
  1. Volume total dos átomos na célula:
V_{\text{átomos}}=N_{\text{FCC}}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=4\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{16}{3}\pi R^{3}.á
  1. APF (juntando e simplificando):
\text{APF}_{\text{FCC}}=\frac{\dfrac{16}{3}\pi R^{3}}{16\sqrt{2}\,R^{3}} =\frac{\pi}{3\sqrt{2}}.
  1. Valor numérico (aproximação): usando \pi\approx3,1416 e \sqrt{2}\approx1,4142,
\text{APF}_{\text{FCC}}\approx\frac{3,1416}{3\cdot1,4142}\approx0,740.

Passo 5

Aplicando os resultados ao ferro nas temperaturas pedidas e comentando a diferença prática.
  • A temperatura crítica conhecida para a transformação \alpha\rightarrow\gamma do ferro é aproximadamente 912^\circ\mathrm{C}. Portanto:
    • À temperatura ambiente (bem abaixo de 912^\circ\mathrm{C}) o ferro está na fase \alpha-Fe (BCC). O APF é o calculado em BCC: \displaystyle \text{APF}_{\alpha}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx0,680.
    • A 920^\circ\mathrm{C} (acima de 912^\circ\mathrm{C}) o ferro está na fase \gamma-Fe (FCC). O APF é o calculado em FCC: \displaystyle \text{APF}_{\gamma}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx0,740.
  • Interpretação física rápida: o empacotamento aumenta de cerca de 0,680 para 0,740, ou seja, a eficiência de empacotamento aumenta aproximadamente
\frac{0,740-0,680}{0,680}\approx0,089\quad\text{(≈ \(8{,}9\%\) a mais de empacotamento)},
o que costuma levar a variação nas propriedades macroscópicas (por exemplo densidade e maleabilidade) entre as fases.

Passo 6

O que acontece em 920^\circ\mathrm{C} e qual o nome da propriedade (explicação didática e amigável).
  • O que acontece: o ferro sofre uma transformação de fase no estado sólido: a rede cristalina reordena-se de BCC ( \alpha) para FCC ( \gamma). Isso significa que os átomos mudam a forma como estão posicionados uns em relação aos outros, ficando mais eficientemente empacotados na FCC. É uma transformação reversível ao resfriar.
  • Nome da propriedade: essa capacidade de um mesmo elemento apresentar mais de uma estrutura cristalina estável em diferentes temperaturas (ou pressões) chama-se “alotropia” (ou “polimorfismo”). Em inglês: “allotropy” / “polymorphism”.
  • Consequência prática: além do APF diferente, a transformação altera propriedades mecânicas e físicas (por exemplo a austenita — \gamma — é geralmente mais dúctil que a ferrita — \alpha), e isso é a base de muitos tratamentos térmicos do aço.

Resposta

a) À temperatura ambiente (fase \alpha, BCC): \displaystyle \text{APF}=\frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx0,680.
a) A 920^\circ\mathrm{C} (fase \gamma, FCC): \displaystyle \text{APF}=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx0,740.
b) O ferro transforma-se de BCC ( \alpha) para FCC ( \gamma) ao atingir 920^\circ\mathrm{C}; essa propriedade chama-se “alotropia” (ou polimorfismo).

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