Demonstre as fórmulas abaixo, onde
e
são nḿeros inteiros não negativos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que demonstrar uma integral que envolve funções trigonométricas, mais especificamente o seno e o cosseno. O enunciado diz que, para inteiros não negativos
e
, a integral de
de
a
é zero quando
é diferente de
e é igual a
quando
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de identidade trigonométrica e propriedades de integrais de funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que ajuda a multiplicar seno e cosseno. A identidade é:
Aplicando isso na nossa integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes:
Sabemos que a integral de
de
a
é zero para qualquer inteiro
, porque a função seno é ímpar e o intervalo é simétrico.
Passo 4
Então, para
e
, ambas as integrais serão zero:
Isso confirma que a integral é zero quando
é diferente de
.
Passo 5
Agora, vamos ver o caso quando
. A segunda parte da integral fica
, então:
Mas a integral original
precisa ser reavaliada, pois a identidade usada anteriormente não se aplica diretamente quando
.
Passo 6
Quando
, temos:
Então, a integral fica:
Calculando os limites, obtemos:
Isso sugere que há um erro na aplicação. Na verdade, para
, a integral correta é:
Porém, de acordo com o enunciado, quando
, a integral deveria ser
. Isso indica que talvez a identidade trigonométrica usada inicialmente não seja a mais adequada para este caso específico.
Passo 7
Vamos reconsiderar a integração original:
Quando
, podemos usar a identidade:
Integrando:
Isso ainda dá zero, então parece que houve uma confusão no enunciado ou na interpretação. Na verdade, a integral
é zero para qualquer
e
, pois a função é ímpar em relação a zero.
Resposta
A integral
é igual a zero para todos os inteiros não negativos
e
.