Demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede demonstrar a igualdade
Informações/elementos dados (explicitados):
- A expressão do lado esquerdo contém a função
multiplicada pela distribuição de Dirac . - O objetivo é mostrar que essa multiplicação é igual a uma constante multiplicando
. - A demonstração deve usar propriedades da distribuição
(por exemplo, a propriedade de “amostragem” / “sifting”).
Passo 2
Defino a função multiplicativa que aparece na frente do delta:
Agora calculo o valor de
no ponto
, que é o ponto de suporte do delta:
Explicação curta: aqui só substituí
na expressão e simplifyei a fração.
Passo 3
Apresento a propriedade fundamental do delta que vou usar (a chamada propriedade de “amostragem” ou “sifting”):
para qualquer função teste contínua vale
para qualquer função teste contínua
O que isso diz, em palavras: a integral do produto da delta por uma função dá o valor dessa função exatamente no ponto onde a delta está concentrada.
Passo 4
Uso a propriedade anterior para comparar a ação das duas distribuições sobre uma função teste arbitrária
.
Calculo a integral do lado esquerdo contra :
Calculo a integral do lado esquerdo contra
Como
é contínua em
, posso aplicar a propriedade de amostragem para o produto
:
Passo 5
Substituo o valor calculado em
Passo 6
Mas, pela propriedade de amostragem, isso é exatamente a integral da distribuição
contra
:
Passo 7
Concluo pela definição de igualdade de distribuições: duas distribuições são iguais se elas têm a mesma ação sobre toda função teste arbitrária
. Vimos que para todo
Portanto, como distribuições,
Passo 8
Intuição rápida e um exemplo concreto (para deixar firme): a delta é “zero” fora de
e “pega” valores naquele ponto; por isso, ao multiplicar pelo fator
o que importa é apenas
. Exemplo com
:
e isso é igual a
Isso confirma a igualdade em uma verificação direta.