Demonstre que se 
  é um grupo abeliano, então, para todos 
  e todo número inteiro 
 , temos 
 .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo abeliano 
 , o que significa que a operação do grupo é comutativa: para quaisquer elementos 
  e 
  em 
 , 
 . A questão quer que mostremos que, para todo 
  e todo número inteiro 
 , a potência do produto 
  é igual ao produto das potências 
 . Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades de grupos abelianos e a definição de potência de um elemento em um grupo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que em um grupo, a potência de um elemento 
  elevado a 
 , denotado por 
 , é definido como a multiplicação de 
  por si mesmo 
  vezes. Por exemplo, 
 . Também sabemos que como 
  é abeliano, a ordem em que multiplicamos os elementos não altera o resultado.
Passo 3
Vamos usar indução matemática para provar que 
  para todo inteiro positivo 
 . A indução começa verificando o caso base e, em seguida, assumindo que a propriedade vale para um inteiro 
  e mostrando que ela também vale para 
 .
Passo 4
Caso base (
 ):
  e 
 . Portanto, 
 .
Passo 5
Passo indutivo:
Assumimos que  é verdadeiro para algum inteiro 
 . Queremos mostrar que isso implica que 
 .
Assumimos que
Passo 6
Calculamos 
 :
Pela hipótese de indução:
Passo 7
Como 
  é abeliano, podemos reordenar os elementos:
Portanto, 
 , completando o passo indutivo.
Passo 8
Assim, por indução matemática, mostramos que 
  para todo inteiro 
 . Para números inteiros negativos, usamos a propriedade dos inversos em grupos abelianos, seguindo um raciocínio semelhante.
Resposta
Portanto, demonstramos que em um grupo abeliano 
 , para todos 
  e todo número inteiro 
 , temos 
 .