Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se
for um campo escalar e
forem campos vetoriais, então
e
serão definidos por
-
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a regra do produto para divergência, isto é, mostrar que, dado um campo escalar
e um campo vetorial
, vale
Aqui usaremos definições de divergência e gradiente, bem como a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Escrevemos o campo vetorial
pelas suas componentes:
Então
e, pela definição de divergência,
Passo 3
Aplicando a regra do produto em cada derivada parcial, obtemos
Somando esses três resultados, fica
Passo 4
Reconhecemos duas quantidade:
e
Logo a soma se organiza como
que é exatamente a identidade a ser demonstrada.