Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e \mathbf{F}, \mathbf{G} forem campos vetoriais, então f \mathbf{F}, \mathbf{F} \cdot \mathbf{G} e \mathbf{F} \times \mathbf{G} serão definidos por
\begin{aligned} (f \mathbf{F})(x, y, z) & =f(x, y, z) \mathbf{F}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{G}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \times \mathbf{G}(x, y, z) \end{aligned}
  1. \operatorname{rot}(f \mathbf{F})=f \operatorname{rot} \mathbf{F}+(\nabla f) \times \mathbf{F}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de cálculo vetorial
\nabla \times (f \mathbf{F}) \;=\; f\,(\nabla \times \mathbf{F}) \;+\; (\nabla f)\times \mathbf{F},
admitindo que todas as derivadas parciais existem e são contínuas. O que vamos usar é: a definição de campo escalar f, campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3), o produto escalar e vetorial em componentes, a regra do produto para derivadas parciais e a definição de rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Escrevemos primeiro f\mathbf{F} em componentes e recordamos a definição de rotacional. Se
\mathbf{F}(x,y,z) = \bigl(F_1(x,y,z),\,F_2(x,y,z),\,F_3(x,y,z)\bigr),
então
f\mathbf{F} = \bigl(fF_1,\,fF_2,\,fF_3\bigr),
e
\nabla \times \mathbf{G} = \Bigl(\frac{\partial G_3}{\partial y}-\frac{\partial G_2}{\partial z},\; \frac{\partial G_1}{\partial z}-\frac{\partial G_3}{\partial x},\; \frac{\partial G_2}{\partial x}-\frac{\partial G_1}{\partial y}\Bigr).

Passo 3

Calculamos a primeira componente de \nabla\times(f\mathbf{F}) aplicando a regra do produto:
(\nabla \times (f\mathbf{F}))_1 = \frac{\partial}{\partial y}(f\,F_3) - \frac{\partial}{\partial z}(f\,F_2).
Pela regra do produto,
\frac{\partial}{\partial y}(f\,F_3) = (\partial_y f)\,F_3 + f\,\partial_y F_3, \quad \frac{\partial}{\partial z}(f\,F_2) = (\partial_z f)\,F_2 + f\,\partial_z F_2.
Logo,
(\nabla \times (f\mathbf{F}))_1 = (\partial_y f)\,F_3 + f\,\partial_y F_3 - \bigl((\partial_z f)\,F_2 + f\,\partial_z F_2\bigr).

Passo 4

Agrupando termos em função de f e de \nabla f, obtemos
(\nabla \times (f\mathbf{F}))_1 = f\,(\partial_y F_3 - \partial_z F_2) \;+\;\bigl((\partial_y f)\,F_3 - (\partial_z f)\,F_2\bigr).
Reconhecemos
(\nabla \times \mathbf{F})_1 = \partial_y F_3 - \partial_z F_2, \quad (\nabla f \times \mathbf{F})_1 = (\partial_y f)\,F_3 - (\partial_z f)\,F_2.
Assim,
(\nabla \times (f\mathbf{F}))_1 = f\,(\nabla \times \mathbf{F})_1 + (\nabla f \times \mathbf{F})_1.

Passo 5

De modo análogo, para a segunda componente:
(\nabla \times (f\mathbf{F}))_2 = \frac{\partial}{\partial z}(fF_1) - \frac{\partial}{\partial x}(fF_3) = f\,(\partial_z F_1 - \partial_x F_3) + \bigl((\partial_z f)\,F_1 - (\partial_x f)\,F_3\bigr),
que coincide com
f\,(\nabla \times \mathbf{F})_2 + (\nabla f \times \mathbf{F})_2.
E para a terceira componente:
(\nabla \times (f\mathbf{F}))_3 = \frac{\partial}{\partial x}(fF_2) - \frac{\partial}{\partial y}(fF_1) = f\,(\partial_x F_2 - \partial_y F_1) + \bigl((\partial_x f)\,F_2 - (\partial_y f)\,F_1\bigr),
que é
f\,(\nabla \times \mathbf{F})_3 + (\nabla f \times \mathbf{F})_3.

Passo 6

Reunindo todas as componentes, concluímos que
\nabla \times (f\,\mathbf{F}) = f\,(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f)\times \mathbf{F},
como desejado.

Resposta

\nabla \times (f\,\mathbf{F}) = f\,(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f)\times \mathbf{F}.

Exercícios relacionados