Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se
for um campo escalar e
forem campos vetoriais, então
e
serão definidos por
-
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de cálculo vetorial
admitindo que todas as derivadas parciais existem e são contínuas. O que vamos usar é: a definição de campo escalar
, campo vetorial
, o produto escalar e vetorial em componentes, a regra do produto para derivadas parciais e a definição de rotacional em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Escrevemos primeiro
em componentes e recordamos a definição de rotacional. Se
então
e
Passo 3
Calculamos a primeira componente de
aplicando a regra do produto:
Pela regra do produto,
Logo,
Passo 4
Agrupando termos em função de
e de
, obtemos
Reconhecemos
Assim,
Passo 5
De modo análogo, para a segunda componente:
que coincide com
E para a terceira componente:
que é
Passo 6
Reunindo todas as componentes, concluímos que
como desejado.