Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e \mathbf{F}, \mathbf{G} forem campos vetoriais, então f \mathbf{F}, \mathbf{F} \cdot \mathbf{G} e \mathbf{F} \times \mathbf{G} serão definidos por
\begin{aligned} (f \mathbf{F})(x, y, z) & =f(x, y, z) \mathbf{F}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{G}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \times \mathbf{G}(x, y, z) \end{aligned}
  1. \operatorname{div}(\nabla f \times \nabla g)=0

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
\operatorname{div}(\nabla f \times \nabla g)=0,
admitindo que todas as derivadas parciais envolvidas existem e são contínuas. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente as definições de gradiente, produto vetorial e divergência, além do fato de que as derivadas parciais mistas são iguais (teorema de Schwarz).

Passo 2

Denotemos
\nabla f = \bigl(f_x,f_y,f_z\bigr), \qquad \nabla g = \bigl(g_x,g_y,g_z\bigr),
onde, por exemplo, f_x=\partial f/\partial x. Então o produto vetorial é
\nabla f \times \nabla g = \bigl(f_y\,g_z - f_z\,g_y,\;f_z\,g_x - f_x\,g_z,\;f_x\,g_y - f_y\,g_x\bigr).

Passo 3

Usando a definição de divergência, temos
\operatorname{div}(\nabla f \times \nabla g) =\frac{\partial}{\partial x}(f_y g_z - f_z g_y) +\frac{\partial}{\partial y}(f_z g_x - f_x g_z) +\frac{\partial}{\partial z}(f_x g_y - f_y g_x).
Ao derivar cada parcela, aparecem seis termos com segundas derivadas de f e seis termos com segundas derivadas de g. Por exemplo, da primeira parcela surge
\frac{\partial}{\partial x}(f_y g_z) = f_{yx}\,g_z + f_y\,g_{zx}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(f_z g_y) = f_{zx}\,g_y + f_z\,g_{yx},
e assim sucessivamente.

Passo 4

Agrupando todos os termos, vemos que eles se organizam em pares do tipo
f_{yx}\,g_z - f_{xy}\,g_z, \quad f_{zy}\,g_x - f_{yz}\,g_x, \quad f_{xz}\,g_y - f_{zx}\,g_y,
e também em pares do tipo
f_y\,g_{zx} - f_y\,g_{xz}, \quad f_z\,g_{xy} - f_z\,g_{yx}, \quad f_x\,g_{yz} - f_x\,g_{zy}.
Como as derivadas parciais mistas são iguais ( f_{xy}=f_{yx}, g_{xz}=g_{zx} etc.), cada par cancela. Logo a soma total é zero.

Resposta

0

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