Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e \mathbf{F}, \mathbf{G} forem campos vetoriais, então f \mathbf{F}, \mathbf{F} \cdot \mathbf{G} e \mathbf{F} \times \mathbf{G} serão definidos por
\begin{aligned} (f \mathbf{F})(x, y, z) & =f(x, y, z) \mathbf{F}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \cdot \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{G}(x, y, z) \\\ (\mathbf{F} \times \mathbf{G})(x, y, z) & =\mathbf{F}(x, y, z) \times \mathbf{G}(x, y, z) \end{aligned}
23 \operatorname{div}(\mathbf{F}+\mathbf{G})=\operatorname{div} \mathbf{F}+\operatorname{div} \mathbf{G}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, sob hipóteses usuais de existência e continuidade das derivadas parciais, a divergência é linear, isto é,
\operatorname{div}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) = \operatorname{div}\mathbf{F} + \operatorname{div}\mathbf{G}.
O conteúdo principal é cálculo vetorial, mais especificamente a definição de divergência e a propriedade de linearidade das derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando a definição de divergência: se \mathbf{H}=(H_1,H_2,H_3) é um campo vetorial em \mathbb{R}^3, então
\operatorname{div}\mathbf{H} =\frac{\partial H_1}{\partial x} +\frac{\partial H_2}{\partial y} +\frac{\partial H_3}{\partial z}.

Passo 3

Considere o campo \mathbf{H}=\mathbf{F}+\mathbf{G}. Suas componentes são
H_1 = F_1 + G_1,\quad H_2 = F_2 + G_2,\quad H_3 = F_3 + G_3.

Passo 4

Aplicando a definição de divergência a \mathbf{H}, obtemos
\operatorname{div}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) =\frac{\partial (F_1+G_1)}{\partial x} +\frac{\partial (F_2+G_2)}{\partial y} +\frac{\partial (F_3+G_3)}{\partial z}.

Passo 5

Como as derivadas parciais são lineares, podemos separar cada termo:
\frac{\partial (F_i+G_i)}{\partial x_i} =\frac{\partial F_i}{\partial x_i}+\frac{\partial G_i}{\partial x_i},
para i=1,2,3. Logo,
\operatorname{div}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) =\Bigl(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\Bigr) +\Bigl(\frac{\partial G_1}{\partial x}+\frac{\partial G_2}{\partial y}+\frac{\partial G_3}{\partial z}\Bigr).

Passo 6

Reconhecendo as somas dentro dos parênteses como \operatorname{div}\mathbf{F} e \operatorname{div}\mathbf{G}, concluímos que
\operatorname{div}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) =\operatorname{div}\mathbf{F}+\operatorname{div}\mathbf{G}.

Resposta

\operatorname{div}(\mathbf{F}+\mathbf{G}) =\operatorname{div}\mathbf{F}+\operatorname{div}\mathbf{G}.

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