Demonstre a Lei de Gauss na presença de dielétricos.
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a Lei de Gauss na presença de dielétricos, isto é, obter a forma apropriada da lei de Gauss quando o meio material pode ser polarizado.
O que é fornecido / o que vamos usar (informações relevantes):
- A lei de Gauss no vácuo na forma diferencial:
, onde é o campo elétrico total e é a densidade volumétrica total de carga (livre + ligada). - A ideia física de polarização: um material dielétrico pode apresentar dipolos elétricos microscópicos que, ao serem somados em média, definem o vetor polarização
, que é o momento dipolar por unidade de volume. - Queremos relacionar o campo elétrico e a polarização de modo a obter uma equação que envolva apenas as cargas livres (ou seja, separar efeitos das cargas ligadas geradas pela polarização).
Passo 2
Relembrando a lei de Gauss microscópica (vácuo, válida localmente mesmo dentro de materiais):
Explicação didática: aqui
é o campo elétrico total no ponto
e
é a densidade de carga total nesse ponto, medida em coulombs por metro cúbico. A constante
é a permissividade do vácuo. Esta equação é ponto-a-ponto: o divergente do campo elétrico numa região diz quanta carga está presente ali.
Passo 3
Separação das cargas: dentro de um dielétrico existe geralmente carga livre
(a que podemos controlar, p. ex. com eletrodos) e carga ligada
(resultado da polarização). Portanto:
Explicação didática: é útil separar as contribuições porque a Lei de Gauss que queremos obter deve relacionar algo com apenas as cargas livres (as cargas ligadas são tratadas por
). O objetivo é eliminar
da equação explícita, incorporando seu efeito em um novo campo.
Passo 4
Definição física de polarização
: é o vetor que mede o momento dipolar por unidade de volume. Se em uma pequena região de volume
existe um dipolo total de momento
, define-se
Explicação didática: imagina muitas moléculas que formam pequenos dipolos; ao “fazer a média” desses dipolos por volume obtém-se
. Esse vetor aponta na direção do deslocamento médio de cargas positivas em relação às negativas dentro do material.
Passo 5
Expressão das cargas ligadas em termos de
: a polarização gera duas formas de carga ligada: densidade volumétrica
e densidade superficial
na superfície do dielétrico. Mostraremos as fórmulas:
onde
é o versor normal externo à superfície do dielétrico.
Derivação (intuitiva e passo-a-passo):
- Considere o potencial elétrico produzido por muitos pequenos dipolos. O potencial de um dipolo localizado em
com momento é proporcional a . Somando (integrando) muitos dipolos descritos por obtém-se, via manipulações de cálculo vetorial e integração por partes, uma expressão equivalente ao potencial produzido por uma densidade volumétrica mais uma densidade superficial sobre a fronteira do volume polarizado. - A comparação com o potencial de uma distribuição de cargas mostra que as contribuições atuam exatamente como se houvesse carga volumétrica
e carga superficial .
Explicação didática simples: onde
diverge (i.e.,
não nulo) há acúmulo de cargas ligadas no volume; se
tem componente normal na superfície, isso corresponde a carga ligada superficial.
Passo 6
Substituir
na forma diferencial da lei de Gauss da Passo 2:
Agora substituir
:
Passo 7
Reorganizar para agrupar os termos envolvendo divergentes:
Reconhecer que o lado esquerdo é o divergente de
. Portanto definimos o campo deslocamento elétrico
por
Explicação didática:
é construído exatamente para somar o termo do vácuo
com a contribuição da polarização
. Fisicamente
“conta” o campo que está associado às cargas livres, removendo o efeito explícito das cargas ligadas.
Passo 8
Com
definido, obtemos a forma diferencial da Lei de Gauss em presença de dielétricos:
Explicação didática: esta equação diz que o divergente do campo deslocamento
num ponto é igual à densidade de carga livre naquele ponto. As cargas ligadas não aparecem explicitamente porque já estão incorporadas em
através de
.
Passo 9
Passar para a forma integral (mais usada para aplicações práticas): integrar a forma diferencial sobre um volume
qualquer e usar o teorema da divergência:
Pelo teorema da divergência:
onde
é a carga livre total encerrada pelo volume
, e
é a superfície que limita
.
Explicação didática: esta é a forma mais prática da Lei de Gauss com dielétricos: o fluxo de
através de uma superfície fechada é igual à carga livre dentro. Cargas ligadas não aparecem no lado direito porque seus efeitos estão “subtraídos” quando se passa de
para
.
Passo 10
Comentário sobre casos lineares e homogêneos (útil para provas e exercícios):
- Para um dielétrico linear, isotrópico e homogêneo existe a relação constitutiva
onde
é a susceptibilidade elétrica (número adimensional). Então
com
e
. Nesse caso comum obtém-se a forma prática
e a Lei de Gauss integral fica
o que frequentemente permite resolver campos por simetria (por exemplo: capacitor com dielétrico homogêneo).
Passo 11
Resumo físico e dicas para prova:
- A chave da demonstração foi escrever a carga total como soma de livre e ligada, expressar a carga ligada em termos de
(com e ) e então definir . - Use sempre a forma diferencial
para obter condições locais e a forma integral para usar simetria e calcular fluxos sem precisar tratar explicitamente as cargas ligadas. - Em exercícios, verifique se o dielétrico é linear/homogêneo para usar
, caso contrário trabalhe com explicitamente.