Demonstre a Lei de Gauss na presença de dielétricos.

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a Lei de Gauss na presença de dielétricos, isto é, obter a forma apropriada da lei de Gauss quando o meio material pode ser polarizado.
O que é fornecido / o que vamos usar (informações relevantes):
  • A lei de Gauss no vácuo na forma diferencial: \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, onde \mathbf{E} é o campo elétrico total e \rho é a densidade volumétrica total de carga (livre + ligada).
  • A ideia física de polarização: um material dielétrico pode apresentar dipolos elétricos microscópicos que, ao serem somados em média, definem o vetor polarização \mathbf{P}(\mathbf{r}), que é o momento dipolar por unidade de volume.
  • Queremos relacionar o campo elétrico e a polarização de modo a obter uma equação que envolva apenas as cargas livres (ou seja, separar efeitos das cargas ligadas geradas pela polarização).

Passo 2

Relembrando a lei de Gauss microscópica (vácuo, válida localmente mesmo dentro de materiais):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Explicação didática: aqui \mathbf{E}(\mathbf{r}) é o campo elétrico total no ponto \mathbf{r} e \rho(\mathbf{r}) é a densidade de carga total nesse ponto, medida em coulombs por metro cúbico. A constante \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Esta equação é ponto-a-ponto: o divergente do campo elétrico numa região diz quanta carga está presente ali.

Passo 3

Separação das cargas: dentro de um dielétrico existe geralmente carga livre \rho_f (a que podemos controlar, p. ex. com eletrodos) e carga ligada \rho_b (resultado da polarização). Portanto:
\rho=\rho_f+\rho_b.
Explicação didática: é útil separar as contribuições porque a Lei de Gauss que queremos obter deve relacionar algo com apenas as cargas livres (as cargas ligadas são tratadas por \mathbf{P}). O objetivo é eliminar \rho_b da equação explícita, incorporando seu efeito em um novo campo.

Passo 4

Definição física de polarização \mathbf{P}: é o vetor que mede o momento dipolar por unidade de volume. Se em uma pequena região de volume dV existe um dipolo total de momento d\mathbf{p}, define-se
\mathbf{P}=\frac{d\mathbf{p}}{dV}.
Explicação didática: imagina muitas moléculas que formam pequenos dipolos; ao “fazer a média” desses dipolos por volume obtém-se \mathbf{P}. Esse vetor aponta na direção do deslocamento médio de cargas positivas em relação às negativas dentro do material.

Passo 5

Expressão das cargas ligadas em termos de \mathbf{P}: a polarização gera duas formas de carga ligada: densidade volumétrica \rho_b e densidade superficial \sigma_b na superfície do dielétrico. Mostraremos as fórmulas:
\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}, \qquad \sigma_b = \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}},
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor normal externo à superfície do dielétrico.
Derivação (intuitiva e passo-a-passo):
  • Considere o potencial elétrico produzido por muitos pequenos dipolos. O potencial de um dipolo localizado em \mathbf{r}' com momento \mathbf{p} é proporcional a \mathbf{p}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3. Somando (integrando) muitos dipolos descritos por \mathbf{P}(\mathbf{r}') obtém-se, via manipulações de cálculo vetorial e integração por partes, uma expressão equivalente ao potencial produzido por uma densidade volumétrica -\nabla'\cdot\mathbf{P}(\mathbf{r}') mais uma densidade superficial \mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}' sobre a fronteira do volume polarizado.
  • A comparação com o potencial de uma distribuição de cargas mostra que as contribuições atuam exatamente como se houvesse carga volumétrica \rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P} e carga superficial \sigma_b=\mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}.
Explicação didática simples: onde \mathbf{P} diverge (i.e., \nabla\cdot\mathbf{P} não nulo) há acúmulo de cargas ligadas no volume; se \mathbf{P} tem componente normal na superfície, isso corresponde a carga ligada superficial.

Passo 6

Substituir \rho=\rho_f+\rho_b na forma diferencial da lei de Gauss da Passo 2:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_f+\rho_b}{\varepsilon_0}.
Agora substituir \rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho_f-\nabla\cdot\mathbf{P}}{\varepsilon_0}.

Passo 7

Reorganizar para agrupar os termos envolvendo divergentes:
\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E}+\nabla\cdot\mathbf{P}=\rho_f.
Reconhecer que o lado esquerdo é o divergente de \varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}. Portanto definimos o campo deslocamento elétrico \mathbf{D} por
\mathbf{D} \equiv \varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}.
Explicação didática: \mathbf{D} é construído exatamente para somar o termo do vácuo \varepsilon_0\mathbf{E} com a contribuição da polarização \mathbf{P}. Fisicamente \mathbf{D} “conta” o campo que está associado às cargas livres, removendo o efeito explícito das cargas ligadas.

Passo 8

Com \mathbf{D} definido, obtemos a forma diferencial da Lei de Gauss em presença de dielétricos:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_f.
Explicação didática: esta equação diz que o divergente do campo deslocamento \mathbf{D} num ponto é igual à densidade de carga livre naquele ponto. As cargas ligadas não aparecem explicitamente porque já estão incorporadas em \mathbf{D} através de \mathbf{P}.

Passo 9

Passar para a forma integral (mais usada para aplicações práticas): integrar a forma diferencial sobre um volume V qualquer e usar o teorema da divergência:
\int_V \nabla\cdot\mathbf{D}\,dV=\int_V \rho_f\,dV.
Pelo teorema da divergência:
\oint_{\partial V} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{f,\text{enc}},
onde Q_{f,\text{enc}}=\displaystyle\int_V \rho_f\,dV é a carga livre total encerrada pelo volume V, e \partial V é a superfície que limita V.
Explicação didática: esta é a forma mais prática da Lei de Gauss com dielétricos: o fluxo de \mathbf{D} através de uma superfície fechada é igual à carga livre dentro. Cargas ligadas não aparecem no lado direito porque seus efeitos estão “subtraídos” quando se passa de \mathbf{E} para \mathbf{D}.

Passo 10

Comentário sobre casos lineares e homogêneos (útil para provas e exercícios):
  • Para um dielétrico linear, isotrópico e homogêneo existe a relação constitutiva
\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E},
onde \chi_e é a susceptibilidade elétrica (número adimensional). Então
\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E}\equiv\varepsilon\mathbf{E},
com \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r e \varepsilon_r=1+\chi_e. Nesse caso comum obtém-se a forma prática \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e a Lei de Gauss integral fica
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{f,\text{enc}},
o que frequentemente permite resolver campos por simetria (por exemplo: capacitor com dielétrico homogêneo).

Passo 11

Resumo físico e dicas para prova:
  • A chave da demonstração foi escrever a carga total como soma de livre e ligada, expressar a carga ligada em termos de \mathbf{P} (com \rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P} e \sigma_b=\mathbf{P}\cdot\hat{\mathbf{n}}) e então definir \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}.
  • Use sempre a forma diferencial \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_f para obter condições locais e a forma integral \oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{f,\text{enc}} para usar simetria e calcular fluxos sem precisar tratar explicitamente as cargas ligadas.
  • Em exercícios, verifique se o dielétrico é linear/homogêneo para usar \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, caso contrário trabalhe com \mathbf{P}(\mathbf{r}) explicitamente.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_f
\displaystyle \oint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{f,\mathrm{enc}}

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