Demonstre que
lim omega omega0[cos (omega t)-cos (omega0 t)omega-omega0]=dd omega cos (omega t)|omega=omega0=-t sin (omega0 t)
Esta expressão aparece no exemplo da subseção ©, da seção 4.3, e do capítulo 4 de nosso livro. Sugestão: escreva omega=omega0+De, desenvolva a função cosseno, e tome o limite apropriadamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa mostrar aqui é que o limite da expressão
lim omega omega0[cos (omega t)-cos (omega0 t)omega-omega0]
é igual a derivada de cos(omega t) em relação a omega avaliada em omega = omega0, que dá -t sin(omega0 t). Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite e derivada, além de uma dica de substituir omega por omega0 + De. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos substituir omega por omega0 + De. Isso ajuda a simplificar a expressão quando De tende a zero (já que omega está se aproximando de omega0). Então, a expressão fica:
cos((omega0 + De

Passo 3

Agora, a gente vai usar a identidade trigonométrica para a diferença de cossenos:
cos A - cos B = -2 sin(A + B2) sin(A - B2)
Aplicando isso na nossa expressão, com A = omega0 t + De e B = omega0 t, temos:
cos(omega0 t + De
Simplificando:
-2 sin(omega0 t + De

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
-2 sin(omega0 t + De
Podemos reescrever isso como:
-2 sin(omega0 t + De

Passo 5

Observamos que quando De, o termo De. Sabemos que:
limx to 0 sin xx = 1
Aplicando isso, temos:
limDe

Passo 6

Também, para o outro termo:
limDe
Porque De, então omega0 t + De.

Passo 7

Agora, juntando tudo:
-2 cdot sin(omega0 t) cdot t2 = -t sin(omega0 t)

Resposta

Portanto,
lim omega omega0[cos (omega t)-cos (omega0 t)omega-omega0] = -t sin(omega0 t)

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