Demonstre, pelo método indicado em cada item, os seguintes teoremas:
(Por redução ao absurdo) Se
e
são números reais tais que
, então
ou
.
(Por redução ao absurdo) Se
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- São dados
e números reais. - Sabe-se que
.
O que se pede: - Demonstrar que
ou .
Passo 2
Vamos usar o método pedido: prova por redução ao absurdo (contradição). A ideia desse método é assumir a negação da conclusão que queremos provar e mostrar que isso leva a uma contradição com as hipóteses ou com propriedades básicas dos reais.
A negação da afirmação " ou
" é, por De Morgan,
A negação da afirmação "
Portanto, assumiremos temporariamente que
e
e veremos que isso contradiz a hipótese
.
Passo 3
Usaremos uma propriedade fundamental dos números reais: se
e
, então existe o inverso multiplicativo
tal que
Isso significa que, quando um número é diferente de zero, é legítimo “dividir” por esse número (ou multiplicar ambos os lados de uma igualdade pelo seu inverso).
Passo 4
Começando da hipótese
e usando a suposição
, multiplicamos ambos os lados por
. Fazendo as contas com cuidado:
Pelo associativo e pela definição de inverso multiplicativo, obtemos
Mas isso contradiz a suposição
. Assim chegamos a uma contradição.
Passo 5
Como a suposição da negação da conclusão (
e
) levou a uma contradição com a hipótese
, essa suposição deve ser falsa. Logo a negação é falsa e a afirmação original é verdadeira: é impossível ter
com ambos
e
não nulos. Portanto, pelo princípio da prova por contradição,