Demonstre, pelo método indicado em cada item, os seguintes teoremas:
(Por redução ao absurdo) Se x e y são números reais tais que x y=0, então x=0 ou y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • São dados x e y números reais.
  • Sabe-se que \;x y = 0\;.
    O que se pede:
  • Demonstrar que \;x=0\; ou \;y=0\;.

Passo 2

Vamos usar o método pedido: prova por redução ao absurdo (contradição). A ideia desse método é assumir a negação da conclusão que queremos provar e mostrar que isso leva a uma contradição com as hipóteses ou com propriedades básicas dos reais.
A negação da afirmação " \;x=0\; ou \;y=0\;" é, por De Morgan,
\text{não}\bigl(x=0\\ \text{ou}\\ y=0\bigr)\quad\Longleftrightarrow\quad x\neq0\\ \text{e}\\ y\neq0.ã
Portanto, assumiremos temporariamente que \;x\neq0\; e \;y\neq0\; e veremos que isso contradiz a hipótese \;xy=0\;.

Passo 3

Usaremos uma propriedade fundamental dos números reais: se a\in\mathbb{R} e a\neq0, então existe o inverso multiplicativo a^{-1} tal que
a\cdot a^{-1}=1.
Isso significa que, quando um número é diferente de zero, é legítimo “dividir” por esse número (ou multiplicar ambos os lados de uma igualdade pelo seu inverso).

Passo 4

Começando da hipótese \;xy=0\; e usando a suposição x\neq0, multiplicamos ambos os lados por x^{-1}. Fazendo as contas com cuidado:
x^{-1}\,(x y)=x^{-1}\cdot 0.
Pelo associativo e pela definição de inverso multiplicativo, obtemos
(x^{-1}x)\,y = 0,
1\cdot y = 0,
y=0.
Mas isso contradiz a suposição y\neq0. Assim chegamos a uma contradição.

Passo 5

Como a suposição da negação da conclusão ( x\neq0 e y\neq0) levou a uma contradição com a hipótese \;xy=0\;, essa suposição deve ser falsa. Logo a negação é falsa e a afirmação original é verdadeira: é impossível ter xy=0 com ambos x e y não nulos. Portanto, pelo princípio da prova por contradição,
x=0\quad\text{ou}\quad y=0.

Resposta

x=0 ou y=0

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