Demonstre a seguinte expressão para estimar o coeficiente de fugacidade, válida em pressões suficientemente baixas: \ln \varphi \approx Z-1.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, em pressões suficientemente baixas, o coeficiente de fugacidade \varphi satisfaz
\ln \varphi \approx Z - 1
onde Z é o fator de compressibilidade. Isso envolve termodinâmica de gases reais e a expansão em baixas pressões (série de virial).

Passo 2

Definimos o fator de compressibilidade e o coeficiente de fugacidade como \,Z = \frac{P V_m}{R T}, e \,\varphi = \frac{f}{P},
sendo V_m o volume molar, f a fugacidade e P a pressão. Pela termodinâmica, a potencial químico de um gás real satisfaz
\mu(T,P) = \mu^\circ(T) + R T \ln\frac{f}{P^\circ}
e, por outra parte, d\mu = V\,dP.

Passo 3

Integramos d\mu = V\,dP de uma pressão de referência P\to0 até P, subtraímos a parte ideal e usamos V = Z\,\frac{R T}{P}. Obtém-se a relação well-known
\ln \varphi \;=\;\int_{0}^{P}\!\frac{Z-1}{P}\,dP.

Passo 4

Em baixas pressões podemos usar a série de virial tron­ca­da
Z = 1 + \frac{B\,P}{R T} + \cdots
Logo
\frac{Z-1}{P} = \frac{B}{R T} + \cdots \quad\Longrightarrow\quad \ln \varphi = \int_{0}^{P}\Bigl(\frac{B}{R T}+\dots\Bigr)dP = \frac{B\,P}{R T} + \cdots.
Mas, à mesma ordem, Z-1 = \tfrac{B\,P}{R T}, portanto

Passo 5

comparando os dois resultados chegamos à aproximação de primeira ordem
\ln \varphi \approx Z - 1,
válida quando os termos de ordem superior em P são desprezíveis.

Resposta

\displaystyle \ln \varphi \approx Z - 1

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