Para uma mistura vapor equimolar de propano(1) e n-pentano(2) a 75^{\circ} \mathrm{C} e 2 bar, estime \mathrm{Z}, \mathrm{H}^{\mathrm{R}} e \mathrm{S}^{\mathrm{R}}. Os segundos coeficientes virial são, em \mathrm{cm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}.
\mathrm{t} /{ }^{\circ} \mathrm{C} B_{11} B_{22} B_{12}
50 -331 -980 -558
75 -276 -809 -466
100 -235 -684 -399
Determine \hat{\varphi}_{1} \mathrm{e} \hat{\varphi}_{2} como funções da composição para misturas de vapor binárias de propano(1) e n-pentano(2) a 75^{\circ} \mathrm{C} e 2 bar.

Passo 1

Temos uma mistura vaporizada equimolar de propano (1) e n-pentano (2) a T=75{^\circ\mathrm{C}}=348{.}15\;\mathrm K e P=2\;\mathrm{bar}. Vamos usar a expansão até o segundo coeficiente virial, em que
\;Z \;=\;1+\frac{B_{\rm mix}\,P}{R\,T}\,,
\;H^{R} \;=\;P\Bigl[B_{\rm mix}-T\frac{dB_{\rm mix}}{dT}\Bigr]\,,
\;S^{R} \;=\;-P\,\frac{dB_{\rm mix}}{dT}\,,
e em que para mistura binária
\;B_{\rm mix} \;=\;x_{1}^{2}B_{11}+2x_{1}x_{2}B_{12}+x_{2}^{2}B_{22}\,,
\;\frac{dB_{\rm mix}}{dT} \;=\;x_{1}^{2}B'_{11}+2x_{1}x_{2}B'_{12}+x_{2}^{2}B'_{22}\,.
Também precisaremos de B_{ij} e de suas derivadas em 75{^\circ\mathrm{C}}, obtidas por interpolação linear entre 50 e 100{^\circ\mathrm{C}}.

Passo 2

Do quadro:
Tabelamos B_{11},B_{22},B_{12} em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} e calculamos
B'_{ij} \;=\;\frac{B_{ij}(100)-B_{ij}(50)}{100-50}\quad(\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}\,\mathrm K).
Assim,
B'_{11}=\frac{-235-(-331)}{50}=1{.}92,\quad B'_{22}=\frac{-684-(-980)}{50}=5{.}92,\quad B'_{12}=\frac{-399-(-558)}{50}=3{.}18.

Passo 3

Para x_{1}=x_{2}=0.5:
B_{\rm mix} =0.25\bigl(-276-809-2\cdot466\bigr) =-504.25\;\mathrm{cm^3/mol},
\frac{dB_{\rm mix}}{dT} =0.25\bigl(1.92+5.92+2\cdot3.18\bigr) =3.55\;\mathrm{cm^3/mol\,K}.
Em unidades SI:
B_{\rm mix}=-504.25\times10^{-6}\,\mathrm{m^3/mol},\quad \frac{dB_{\rm mix}}{dT}=3.55\times10^{-6}\,\mathrm{m^3/mol\,K}.

Passo 4

Usando R=8.314\;\mathrm{J/mol\,K}, P=2\times10^5\;\mathrm{Pa}, T=348.15\;\mathrm K:
Z=1+\frac{B_{\rm mix}\,P}{R\,T} =1+\frac{-504.25\times10^{-6}\times2\times10^5}{8.314\times348.15} \approx0.965.

Passo 5

A entalpia residual (por mol) vem de \;H^{R}=P\bigl[B_{\rm mix}-T\,dB_{\rm mix}/dT\bigr].
Logo,
B_{\rm mix}-T\frac{dB_{\rm mix}}{dT} =-504.25-348.15\cdot3.55 =-1739.3\;\mathrm{cm^3/mol}
H^{R} =2\times10^5\;\mathrm{Pa}\times(-1739.3\times10^{-6}\;\mathrm{m^3/mol}) \approx-348\;\mathrm{J/mol}.

Passo 6

A entropia residual é \;S^{R}=-P\,\frac{dB_{\rm mix}}{dT}. Assim,
S^{R} =-2\times10^5\;\mathrm{Pa}\times(3.55\times10^{-6}\;\mathrm{m^3/mol\,K}) \approx-0.71\;\mathrm{J/(mol\,K)}.

Passo 7

Para a fugacity coefficient de cada componente em virial de segunda ordem usa-se
\ln\hat\phi_{1} =\frac{2\bigl(x_{1}B_{11}+x_{2}B_{12}\bigr)-B_{\rm mix}}{R\,T}\,P, \quad \ln\hat\phi_{2} =\frac{2\bigl(x_{1}B_{12}+x_{2}B_{22}\bigr)-B_{\rm mix}}{R\,T}\,P,
onde B_{\rm mix}=x_{1}^{2}B_{11}+2x_{1}x_{2}B_{12}+x_{2}^{2}B_{22}.

Resposta

Z \approx 0.965 H^{R}\approx-348\;\mathrm{J/mol} S^{R}\approx-0.71\;\mathrm{J/(mol\,K)} \displaystyle \ln\hat\phi_{1} =\frac{2(x_{1}B_{11}+x_{2}B_{12})-B_{\rm mix}}{R\,T}\,P, \quad \ln\hat\phi_{2} =\frac{2(x_{1}B_{12}+x_{2}B_{22})-B_{\rm mix}}{R\,T}\,P.

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