Demonstre as seguintes expressões:
\frac{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S}}{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}}=\frac{\gamma}{\gamma-1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um gás ideal, a razão
\frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{S}}{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}}
vale \gamma/(\gamma-1).
Aqui usaremos a equação de estado do gás ideal
P\,V = R\,T
e a forma diferencial da entropia S de um gás ideal monoatômico ou diatômico, em que aparecem c_v e c_p. Lembramos também que
\gamma = \frac{c_p}{c_v}, \qquad R = c_p - c_v.

Passo 2

Vamos começar com \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}. Da lei dos gases ideais,
P = \frac{R\,T}{V},
logo, derivando em relação a T a volume constante, vem
\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V} = \frac{R}{V}.

Passo 3

Agora precisamos de \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{S}. Para isso, usamos a forma diferencial da entropia de um gás ideal:
dS = \frac{c_v}{T}\,dT + \frac{R}{V}\,dV.
Como estamos em processo isotérmico em entropia ( dS=0), temos
0 = \frac{c_v}{T}\,dT + \frac{R}{V}\,dV \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dT}\Bigl|_{S} = -\,\frac{c_v}{T}\,\frac{V}{R} = -\,\frac{c_v\,V}{R\,T}.

Passo 4

Escrevemos o diferencial de P em função de T e V:
dP = \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}\,dT + \bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T}\,dV.
Pelas derivadas da lei do gás ideal,
\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}=\frac{R}{V}, \quad \bigl(\partial P/\partial V\bigr)_{T}=-\frac{R\,T}{V^2}.
Substituindo dV/dT|_{S} e dividindo tudo por dT, obtemos
\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{S} = \frac{R}{V} \;-\;\frac{R\,T}{V^2}\,\Bigl(-\frac{c_v\,V}{R\,T}\Bigr) = \frac{R}{V} + \frac{c_v}{V} = \frac{R + c_v}{V}.
Reconhecemos R + c_v = c_p, então
\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{S} = \frac{c_p}{V}.

Passo 5

Finalmente, a razão pedida é
\frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{S}}{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}} = \frac{\displaystyle \frac{c_p}{V}}{\displaystyle \frac{R}{V}} = \frac{c_p}{R}.
Como R = c_p - c_v = c_v(\gamma - 1) e c_p = \gamma c_v, segue
\frac{c_p}{R} = \frac{\gamma\,c_v}{c_v(\gamma - 1)} = \frac{\gamma}{\gamma - 1}.

Resposta

\frac{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{S}}{\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V}} = \frac{\gamma}{\gamma-1}.

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