Um gás obedece a Equação, P(v-b)=R T, onde b e C_{V} são constantes. Mostre que:
(a) A energia interna é função apenas da temperatura; (b) \gamma é constante; (c) Durante o processo adiabático, encontramos: P(V-b)^{\gamma}; (d) Quanto vale C_{P}-C_{V} ?

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado
P\bigl(V - b\bigr)=R\,T
com b e C_{V} constantes, e pede:
(a) mostrar que U depende só de T;
(b) mostrar que \gamma é constante;
(c) obter a relação adiabática P\,(V-b)^{\gamma}=\text{const};
(d) achar C_{P}-C_{V}.
Vamos usar termodinâmica de gases, em especial a diferencial de U e as definições de C_{V}, C_{P} e \gamma.

Passo 2

Usamos a identidade de termodinâmica geral
dU = C_{V}\,dT + \bigl[T\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V} - P\bigr]\,dV.
Da equação de estado P=R\,T/(V-b) vem
\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_{V} = \frac{R}{V - b} \quad\Longrightarrow\quad T\,\frac{\partial P}{\partial T}\Big|_{V} = \frac{R\,T}{V-b} = P.
Logo o colchete some e ficamos com
dU = C_{V}\,dT
o que mostra que U é função apenas de T.

Passo 3

Pelo segundo potencial enérgico, a entalpia é H=U+P\,V e
C_{P} = \Bigl(\frac{\partial H}{\partial T}\Bigr)_{P} = C_{V} + \frac{\partial (P\,V)}{\partial T}\Big|_{P}.
Como P(V-b)=R\,T temos P\,V=R\,T + b\,P. A derivada a P fixo dá
\frac{\partial (P\,V)}{\partial T}\Big|_{P} = R,
portanto
C_{P} = C_{V} + R.
Daí
\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = 1 + \frac{R}{C_{V}},
que é constante pois R e C_{V} são constantes.

Passo 4

Num processo adiabático dQ=0, logo da primeira lei
dU + P\,dV = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_{V}\,dT + P\,dV = 0.
Substituindo P=R\,T/(V-b)
C_{V}\,\frac{dT}{T} + R\,\frac{dV}{\,V-b\,} = 0 \quad\Longrightarrow\quad d\bigl[\ln T + \tfrac{R}{C_{V}}\ln(V-b)\bigr]=0.
Integrando
T\,(V-b)^{R/C_{V}}=\text{const}.
Como \gamma-1=R/C_{V}, temos
T\,(V-b)^{\gamma-1}=\text{const}.
Reescrevendo em termos de P pela equação de estado, chega-se a
P\,(V-b)^{\gamma}=\text{const}.

Passo 5

Já encontramos em

Passo 6

C_{P}-C_{V}=R.

Resposta

(a) U=U(T).
(b) \displaystyle \gamma=1+\frac{R}{C_{V}} é constante.
(c) Adiabática: \displaystyle P\,(V-b)^{\gamma}=\text{const}.
(d) \displaystyle C_{P}-C_{V}=R.

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