Demonstre as seguintes expressões:
\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S}=\frac{C_{P}}{V \beta T}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{S} \;=\;\frac{C_{P}}{V\,\beta\,T}\,.
O conteúdo é termodinâmica: vamos usar a diferencial de entropia em T e P, a definição de C_{P}, o coeficiente de expansão volumétrica \beta e uma relação de Maxwell.

Passo 2

Escrevemos a diferencial de entropia em função de T e P:
dS \;=\;\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P}dT \;+\;\Bigl(\frac{\partial S}{\partial P}\Bigr)_{T}dP\,.

Passo 3

Pela definição de capacidade térmica a pressão constante,
\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P} \;=\;\frac{C_{P}}{T}\,.
E da diferencial de energia livre de Gibbs dG=-S\,dT+V\,dP segue a relação de Maxwell
\Bigl(\frac{\partial S}{\partial P}\Bigr)_{T} \;=\;-\,\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}\,.

Passo 4

Em transformações isoentrópicas fixamos dS=0. Substituindo em dS=0 obtemos
0 = \frac{C_{P}}{T}\,dT \;-\;\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}dP \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{S} = \frac{C_{P}/T}{(\partial V/\partial T)_{P}}\,.

Passo 5

Definimos o coeficiente de expansão volumétrica por
\beta \;=\;\frac{1}{V}\,\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P} = \beta\,V.
Substituindo na expressão anterior resulta
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{S} = \frac{C_{P}/T}{\beta\,V} = \frac{C_{P}}{V\,\beta\,T}\,.

Resposta

\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{S} = \frac{C_{P}}{V\,\beta\,T}.

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