Demonstre as seguintes expressões:
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{S}=-\frac{\kappa C_{v}}{\beta T}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a relação
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{S} \;=\; -\,\frac{\kappa\,C_{v}}{\beta\,T}\,,
onde C_{v} é o calor específico a volume constante, \beta o coeficiente de expansão térmica e \kappa a compressibilidade isoterma. Vamos usar o diferencial de entropia, a condição dS=0 e as definições de \beta e \kappa, além das identidades de derivadas parciais.

Passo 2

Partimos do diferencial de entropia em variáveis (T,V). Da termodinâmica sabemos que
dS = \frac{C_{v}}{T}\,dT \;+\;\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}\,dV.

Passo 3

Para processos isoentrópicos impomos dS=0. Assim
0 = \frac{C_{v}}{T}\,dT + \Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}\,dV \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{S} = -\,\frac{\tfrac{C_{v}}{T}}{\bigl(\tfrac{\partial P}{\partial T}\bigr)_{V}} = -\,\frac{C_{v}}{T}\,\frac{1}{\bigl(\tfrac{\partial P}{\partial T}\bigr)_{V}}.

Passo 4

Usamos agora as definições
\beta = \frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P}, \qquad \kappa = -\frac{1}{V}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial P}\Bigr)_{T}.
Pela regra de reciprocidade e pela relação de ciclo de derivadas parciais
\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V} = -\,\frac{\bigl(\tfrac{\partial V}{\partial T}\bigr)_{P}} {\bigl(\tfrac{\partial V}{\partial P}\bigr)_{T}} = -\,\frac{\beta\,V}{-\,\kappa\,V} = \frac{\beta}{\kappa}.

Passo 5

Substituindo \bigl(\tfrac{\partial P}{\partial T}\bigr)_{V}=\beta/\kappa em
\bigl(\tfrac{\partial V}{\partial T}\bigr)_{S} obtemos
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{S} = -\,\frac{C_{v}}{T}\,\frac{1}{\tfrac{\beta}{\kappa}} = -\,\frac{\kappa\,C_{v}}{\beta\,T}.

Resposta

\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{S} = -\,\frac{\kappa\,C_{v}}{\beta\,T}.

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