A expressão envolve a distribuição (ou função generalizada) \delta(t), conhecida como delta de Dirac.
O fator multiplicativo é a função e^{-2t}.
A demonstração deve justificar por que as duas distribuições são iguais.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa que duas distribuições sejam iguais. Sejam T e S distribuições; elas são iguais se, para toda função teste \varphi (ou seja, toda função \varphi suave com suporte compacto), vale
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle denota a ação de uma distribuição sobre a função teste. Em linguagem mais simples: duas distribuições são iguais quando elas produzem o mesmo número ao agirem sobre qualquer função teste \varphi.
Passo 3
Agora lembramos a propriedade fundamental da delta de Dirac (propriedade de amostragem ou “sifting property”): para toda função teste \varphi,
\langle \delta,\varphi\rangle=\varphi(0).
Isto é, \delta “pega” o valor da função no ponto t=0.
Passo 4
Vamos calcular a ação da distribuição e^{-2t}\,\delta(t) sobre uma função teste arbitrária \varphi. Pela definição de multiplicação de uma função regular f por uma distribuição \delta, temos
Pelo critério de igualdade de distribuições (Passo 2), isso implica
e^{-2t}\,\delta(t)=\delta(t).
Passo 7
Comentário didático e intuição: a razão prática é simples — \delta(t) “vive” apenas no ponto t=0, então qualquer função multiplicativa contínua f(t) só importa em seu valor f(0). Em geral vale a propriedade
f(t)\,\delta(t)=f(0)\,\delta(t)
para qualquer função f contínua (ou ao menos contínua em t=0). No nosso caso f(t)=e^{-2t} tem f(0)=1, daí o resultado. Exemplo rápido: como t tem t(0)=0, segue t\,\delta(t)=0.