Demonstre que:
e^{-2 t} \delta(t)=\delta(t)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
e^{-2 t}\,\delta(t)=\delta(t).
Informações que temos explicitamente:
  • A expressão envolve a distribuição (ou função generalizada) \delta(t), conhecida como delta de Dirac.
  • O fator multiplicativo é a função e^{-2t}.
  • A demonstração deve justificar por que as duas distribuições são iguais.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa que duas distribuições sejam iguais. Sejam T e S distribuições; elas são iguais se, para toda função teste \varphi (ou seja, toda função \varphi suave com suporte compacto), vale
\langle T,\varphi\rangle=\langle S,\varphi\rangle.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle denota a ação de uma distribuição sobre a função teste. Em linguagem mais simples: duas distribuições são iguais quando elas produzem o mesmo número ao agirem sobre qualquer função teste \varphi.

Passo 3

Agora lembramos a propriedade fundamental da delta de Dirac (propriedade de amostragem ou “sifting property”): para toda função teste \varphi,
\langle \delta,\varphi\rangle=\varphi(0).
Isto é, \delta “pega” o valor da função no ponto t=0.

Passo 4

Vamos calcular a ação da distribuição e^{-2t}\,\delta(t) sobre uma função teste arbitrária \varphi. Pela definição de multiplicação de uma função regular f por uma distribuição \delta, temos
\langle e^{-2t}\,\delta,\varphi\rangle=\langle \delta, e^{-2t}\varphi(t)\rangle.
Aqui trocamos a função multiplicativa para atuar sobre a função teste porque é a forma usual de interpretar o produto f\cdot\delta.

Passo 5

Aplicando a propriedade de amostragem da delta ao lado direito, obtemos
\langle \delta, e^{-2t}\varphi(t)\rangle=(e^{-2t}\varphi(t))\big|_{t=0}.
Isto significa avaliar a função t\mapsto e^{-2t}\varphi(t) em t=0. Fazendo essa avaliação:
(e^{-2t}\varphi(t))\big|_{t=0}=e^{0}\varphi(0)=1\cdot\varphi(0)=\varphi(0).

Passo 6

Comparando com a ação de \delta sobre \varphi, que é \langle \delta,\varphi\rangle=\varphi(0), concluímos que, para toda função teste \varphi,
\langle e^{-2t}\,\delta,\varphi\rangle=\langle \delta,\varphi\rangle.
Pelo critério de igualdade de distribuições (Passo 2), isso implica
e^{-2t}\,\delta(t)=\delta(t).

Passo 7

Comentário didático e intuição: a razão prática é simples — \delta(t) “vive” apenas no ponto t=0, então qualquer função multiplicativa contínua f(t) só importa em seu valor f(0). Em geral vale a propriedade
f(t)\,\delta(t)=f(0)\,\delta(t)
para qualquer função f contínua (ou ao menos contínua em t=0). No nosso caso f(t)=e^{-2t} tem f(0)=1, daí o resultado. Exemplo rápido: como t tem t(0)=0, segue t\,\delta(t)=0.

Resposta

\delta(t)