Demonstre que
a TTT de um ensaio triaxial convencional é uma reta que faz
com a horizontal.
a TTT de um ensaio triaxial convencional é uma reta que faz
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que a TTT (traçado das tensões totais no ensaio triaxial convencional) é uma reta que faz
com a horizontal, no gráfico com eixo horizontal
e eixo vertical
. Na figura enviada o eixo vertical está marcado como
e o horizontal como
; uso essa informação da imagem para orientar a demonstração. Não há outras informações numéricas obrigatórias no enunciado — apenas a condição do ensaio triaxial convencional (pressão confinante
mantida constante enquanto
aumenta).
Passo 2
Vamos definir claramente as grandezas que usaremos (é fundamental entender o que cada símbolo significa, porque a propriedade geométrica virá direto dessas definições).
-
= tensão principal máxima efetiva (tensão axial no ensaio triaxial). -
= tensão principal mínima efetiva (tensão confinante radial), que no ensaio triaxial convencional é mantida constante. -
= coordenada horizontal do gráfico (definiremos de forma simples e comum para triaxial), tomada aqui como a média aritmética de e :
-
= coordenada vertical do gráfico, tomada aqui como metade do desvio entre as duas tensões principais:
Observação didática: essas definições (
e
) são muito usadas porque transformam
e
em uma forma simétrica e tornam a álgebra simples. Se usássemos outras convenções (por exemplo
e
) a inclinação numérica muda; por isso é importante declarar a convenção. Vou seguir a convenção acima, que é a que leva diretamente à reta a
e é pedagogicamente a mais simples para este enunciado.
Passo 3
A partir das definições, escrevemos explicitamente as relações e isolamos
e
em função de
e
. Isto nos mostra como os pontos
se relacionam com as tensões:
Começando por
Somando as duas expressões (para eliminar
):
Subtraindo as duas expressões (para eliminar
):
Portanto temos as identidades úteis
Passo 4
No ensaio triaxial convensional a tensão confinante
é mantida constante durante a aplicação do carregamento axial. Ou seja,
é uma constante conhecida (vou chamar essa constante de
apenas para escrever a relação, assim
).
Usando a relação obtida no passo anterior,
Isolando
,
Esta é a equação de uma reta no plano
: é uma função afim de
com coeficiente angular igual a
e intercepto vertical igual a
.
Passo 5
Interpretação geométrica e cálculo do ângulo com a horizontal. A equação da reta é
O coeficiente angular (declive) é
. O ângulo
que a reta faz com a horizontal satisfaz
Portanto a reta forma
com a horizontal.
Didática extra (como você pode visualizar rápido na prova): para qualquer variação de
(com
fixo), os pares
mudam segundo
ou seja, qualquer incremento
produz
e
, logo
— deslocamento igual nos dois eixos: reta de inclinação 1 (45º). Um exemplo numérico rápido: se
kPa e
varia de
para
kPa, então
vai de
a
— vetor
que tem direção a
.
Passo 6
Resumo didático final (para fixar a ideia): a razão pela qual a TTT fica a
é simplesmente que escolhemos como coordenadas a média e a metade da diferença das duas tensões principais; com a condição experimental
constante temos imediatamente
constante, que é a equação de uma reta com inclinação
. Isso é uma demonstração direta e curta que você pode reproduzir na prova sem complicação algébrica.