Demonstre que
a TTT de um ensaio triaxial convencional é uma reta que faz 45^{\circ} com a horizontal.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que a TTT (traçado das tensões totais no ensaio triaxial convencional) é uma reta que faz 45^\circ com a horizontal, no gráfico com eixo horizontal p' e eixo vertical q. Na figura enviada o eixo vertical está marcado como q e o horizontal como p'; uso essa informação da imagem para orientar a demonstração. Não há outras informações numéricas obrigatórias no enunciado — apenas a condição do ensaio triaxial convencional (pressão confinante \sigma_3' mantida constante enquanto \sigma_1' aumenta).

Passo 2

Vamos definir claramente as grandezas que usaremos (é fundamental entender o que cada símbolo significa, porque a propriedade geométrica virá direto dessas definições).
  • \sigma_1' = tensão principal máxima efetiva (tensão axial no ensaio triaxial).
  • \sigma_3' = tensão principal mínima efetiva (tensão confinante radial), que no ensaio triaxial convencional é mantida constante.
  • p' = coordenada horizontal do gráfico (definiremos de forma simples e comum para triaxial), tomada aqui como a média aritmética de \sigma_1' e \sigma_3':
p'=\frac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2}.
  • q = coordenada vertical do gráfico, tomada aqui como metade do desvio entre as duas tensões principais:
q=\frac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2}.
Observação didática: essas definições ( p'=(\sigma_1'+\sigma_3')/2 e q=(\sigma_1'-\sigma_3')/2) são muito usadas porque transformam \sigma_1' e \sigma_3' em uma forma simétrica e tornam a álgebra simples. Se usássemos outras convenções (por exemplo p'=(\sigma_1'+2\sigma_3')/3 e q=\sigma_1'-\sigma_3') a inclinação numérica muda; por isso é importante declarar a convenção. Vou seguir a convenção acima, que é a que leva diretamente à reta a 45^\circ e é pedagogicamente a mais simples para este enunciado.

Passo 3

A partir das definições, escrevemos explicitamente as relações e isolamos \sigma_1' e \sigma_3' em função de p' e q. Isto nos mostra como os pontos (p',q) se relacionam com as tensões:
Começando por
p'=\frac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2}, \qquad q=\frac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2}.
Somando as duas expressões (para eliminar \sigma_3'):
p'+q=\frac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2}+\frac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2}=\sigma_1'.
Subtraindo as duas expressões (para eliminar \sigma_1'):
p'-q=\frac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2}-\frac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2}=\sigma_3'.
Portanto temos as identidades úteis
\sigma_1' = p' + q, \qquad \sigma_3' = p' - q.

Passo 4

No ensaio triaxial convensional a tensão confinante \sigma_3' é mantida constante durante a aplicação do carregamento axial. Ou seja, \sigma_3' é uma constante conhecida (vou chamar essa constante de c apenas para escrever a relação, assim c=\sigma_3').
Usando a relação obtida no passo anterior,
\sigma_3' = p' - q = c \quad\Rightarrow\quad p' - q = c.
Isolando q,
q = p' - c.
Esta é a equação de uma reta no plano (p',q): é uma função afim de p' com coeficiente angular igual a 1 e intercepto vertical igual a -c.

Passo 5

Interpretação geométrica e cálculo do ângulo com a horizontal. A equação da reta é
q = 1\cdot p' - c.
O coeficiente angular (declive) é m=1. O ângulo \theta que a reta faz com a horizontal satisfaz
\tan\theta = m = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \arctan(1)=45^\circ.
Portanto a reta forma 45^\circ com a horizontal.
Didática extra (como você pode visualizar rápido na prova): para qualquer variação de \sigma_1' (com \sigma_3' fixo), os pares (p',q) mudam segundo
p'=\frac{\sigma_1'+\sigma_3'}{2},\qquad q=\frac{\sigma_1'-\sigma_3'}{2},
ou seja, qualquer incremento \Delta\sigma_1' produz \Delta p'=\tfrac{1}{2}\Delta\sigma_1' e \Delta q=\tfrac{1}{2}\Delta\sigma_1', logo \Delta q=\Delta p' — deslocamento igual nos dois eixos: reta de inclinação 1 (45º). Um exemplo numérico rápido: se \sigma_3'=100 kPa e \sigma_1' varia de 100 para 200 kPa, então (p',q) vai de (100,0) a (150,50) — vetor (50,50) que tem direção a 45^\circ.

Passo 6

Resumo didático final (para fixar a ideia): a razão pela qual a TTT fica a 45^\circ é simplesmente que escolhemos como coordenadas a média e a metade da diferença das duas tensões principais; com a condição experimental \sigma_3'= constante temos imediatamente p'-q= constante, que é a equação de uma reta com inclinação +1. Isso é uma demonstração direta e curta que você pode reproduzir na prova sem complicação algébrica.

Resposta

q = p' - \sigma_3' \quad\Rightarrow\quad \text{reta de coeficiente angular }1,\\ \text{logo inclinação }45^\circ.çã

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