Demonstre que valem as seguintes igualdades:
d) A-(B cap C)=(A-B) cup(A-C)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos demonstrar que $ A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C) $. O conteúdo está relacionado à teoria dos conjuntos, especificamente, operações com conjuntos como diferença, interseção e união. Para resolver isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas operações significa e como elas interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que significa a diferença entre conjuntos. Para dois conjuntos $ X $ e $ Y $, a diferença $ X - Y $ é o conjunto de todos os elementos que estão em $ X $ mas não estão em $ Y $. Portanto, $ A - (B \cap C) $ representa todos os elementos que estão em $ A $ e que não estão na interseção de $ B $ e $ C $.

Passo 3

Agora, vamos analisar $ (A - B) \cup (A - C) $. Aqui, temos duas diferenças: $ A - B $ são os elementos que estão em $ A $ mas não em $ B $, e $ A - C $ são os que estão em $ A $ mas não em $ C $. A união desses dois conjuntos, $ (A - B) \cup (A - C) $, será o conjunto de elementos que estão em $ A $ mas não estão em $ B $ ou não estão em $ C $.

Passo 4

Para demonstrar que os dois lados são iguais, precisamos mostrar que cada conjunto é subconjunto do outro.
Primeiro, vamos mostrar que $ A - (B \cap C) \subseteq (A - B) \cup (A - C) $. Seja um elemento $ x $ em $ A - (B \cap C) $. Isso significa que $ x \in A $ e $ x \notin B \cap C $. Se $ x $ não está na interseção $ B \cap C $, então $ x $ não está em $ B $ ou $ x $ não está em $ C $. Assim, $ x $ está em $ A - B $ ou em $ A - C $, o que significa que $ x \in (A - B) \cup (A - C) $.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que $ (A - B) \cup (A - C) \subseteq A - (B \cap C) $. Seja um elemento $ x $ em $ (A - B) \cup (A - C) $. Isso significa que $ x \in A - B $ ou $ x \in A - C $. Se $ x \in A - B $, então $ x \in A $ e $ x \notin B $. Se $ x \in A - C $, então $ x \in A $ e $ x \notin C $. Em ambos os casos, $ x $ não está em $ B \cap C $, pois para estar na interseção, teria que estar nos dois. Portanto, $ x \in A - (B \cap C) $.

Resposta

Assim, demonstramos que $ A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C) $.

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