Demostre que as regras de seleção para átomos hidrogenóides são dadas por
. Para a obtenção das regras de seleção solicitadas escreva as componentes
e
do operador momento de dipolo
em termos dos harmônicos esféricos e considere que a integral:
será nula a menos que
e
(esta é uma propriedade dos harmônicos esféricos).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar as regras de seleção para átomos hidrogenóides, que dizem que a mudança no número quântico angular orbital (
) é
e a mudança no número magnético (
) é
ou
. Para isso, vamos usar o operador momento de dipolo
e trabalhar com harmônicos esféricos. Vamos precisar entender como os harmônicos esféricos funcionam e como eles se relacionam com as integrais envolvendo esses harmônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o operador momento de dipolo
pode ser decomposto em suas componentes
,
e
. Essas componentes podem ser expressas em termos de harmônicos esféricos, que são funções matemáticas usadas para resolver problemas de simetria esférica na física. Os harmônicos esféricos são denotados por
, onde
é o número quântico angular e
é o número quântico magnético.
Passo 3
Agora, vamos expressar as componentes do operador momento de dipolo em termos dos harmônicos esféricos. Sabemos que:
Aqui,
,
e
são as componentes do momento de dipolo em termos dos harmônicos esféricos
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Para determinar as regras de seleção, precisamos calcular a integral dada:
Essa integral representa a sobreposição dos harmônicos esféricos envolvidos na transição. Já foi dado que essa integral é nula a menos que
e
. Isso nos dá as primeiras regras de seleção:
e
.
Passo 5
Observando as componentes do momento de dipolo que expressamos anteriormente, vemos que
pode assumir os valores
,
e
. Assim, a mudança no número magnético
pode ser
,
ou
. Isso confirma que as regras de seleção para
são
.
Passo 6
Juntando tudo, mostramos que para que a integral não seja nula, as mudanças nos números quânticos devem obedecer a
e
. Isso significa que as regras de seleção para transições elétricas de dipolo em átomos hidrogenóides são exatamente essas.
Resposta
As regras de seleção para átomos hidrogenóides são
e
.