A densidade de energia de deformação deve ser a mesma, quer o estado de tensão seja representado por \sigma_{x}, \sigma_{y} e \tau_{x y} quer pelas tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2}. Sendo esse o caso, iguale as expressões da energia de deformação para cada um desses dois casos e mostre que G=E /[2(1+\nu)].

Passo 1

O enunciado pede para usar a invariância da densidade de energia de deformação entre duas representações do mesmo estado de tensão: em eixos arbitrários (x,y) com tensões \sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy} e em eixos principais com tensões \sigma_{1},\sigma_{2}. O conteúdo é elasticidade linear (lei de Hooke bidimensional, estado plano de tensão) e a meta é encontrar a relação entre o módulo de cisalhamento G, o módulo de Young E e o coeficiente de Poisson \nu.

Passo 2

Na base (x,y) a densidade de energia de deformação (por unidade de volume) para um estado plano de tensão é
U_{xy} = \frac{1}{2E}\bigl(\sigma_{x}^{2} + \sigma_{y}^{2} - 2\nu\,\sigma_{x}\sigma_{y}\bigr) + \frac{\tau_{xy}^{2}}{2G}.

Passo 3

Na base dos eixos principais, onde só há normais \sigma_{1},\sigma_{2} (e \tau_{12}=0), a mesma densidade é
U_{1 2} = \frac{1}{2E}\bigl(\sigma_{1}^{2} + \sigma_{2}^{2} - 2\nu\,\sigma_{1}\sigma_{2}\bigr).

Passo 4

Usamos as invariantes do tensor de tensões no plano:
\sigma_{1}+\sigma_{2}=\sigma_{x}+\sigma_{y},
\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}=\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}+2\tau_{xy}^{2},
\sigma_{1}\sigma_{2}=\sigma_{x}\sigma_{y}-\tau_{xy}^{2}. Substituindo em U_{1 2}:
U_{1 2} = \frac{1}{2E}\bigl[ (\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}+2\tau_{xy}^{2}) -2\nu\,(\sigma_{x}\sigma_{y}-\tau_{xy}^{2}) \bigr].

Passo 5

Distribuindo e recolhendo termos em \sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy}:
U_{1 2} = \frac{1}{2E}\Bigl( \sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}-2\nu\,\sigma_{x}\sigma_{y} +2\tau_{xy}^{2}+2\nu\,\tau_{xy}^{2} \Bigr) = \frac{1}{2E}\bigl(\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}-2\nu\,\sigma_{x}\sigma_{y}\bigr) + \frac{1}{2E}\,2(1+\nu)\,\tau_{xy}^{2}.

Passo 6

Como a energia é invariante, U_{xy}=U_{12}. Igualando as expressões dos Passos 2 e 5:
\frac{1}{2E}\bigl(\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}-2\nu\,\sigma_{x}\sigma_{y}\bigr) +\frac{\tau_{xy}^{2}}{2G} = \frac{1}{2E}\bigl(\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}-2\nu\,\sigma_{x}\sigma_{y}\bigr) +\frac{1}{2E}\,2(1+\nu)\,\tau_{xy}^{2}.
Cancelam-se os termos com \sigma_{x}^2,\sigma_{y}^2,\sigma_{x}\sigma_{y}, sobrando
\frac{\tau_{xy}^{2}}{2G} = \frac{1}{2E}\,2(1+\nu)\,\tau_{xy}^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{G} = \frac{2(1+\nu)}{E} \quad\Longrightarrow\quad G=\frac{E}{2(1+\nu)}.

Resposta

G=\dfrac{E}{2(1+\nu)}.

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