A densidade de energia de deformação deve ser a mesma, quer o estado de tensão seja representado por
e
quer pelas tensões principais
e
. Sendo esse o caso, iguale as expressões da energia de deformação para cada um desses dois casos e mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a invariância da densidade de energia de deformação entre duas representações do mesmo estado de tensão: em eixos arbitrários
com tensões
e em eixos principais com tensões
. O conteúdo é elasticidade linear (lei de Hooke bidimensional, estado plano de tensão) e a meta é encontrar a relação entre o módulo de cisalhamento
, o módulo de Young
e o coeficiente de Poisson
.
Passo 2
Na base
a densidade de energia de deformação (por unidade de volume) para um estado plano de tensão é
Passo 3
Na base dos eixos principais, onde só há normais
(e
), a mesma densidade é
Passo 4
Usamos as invariantes do tensor de tensões no plano:
,
,
. Substituindo em
:
Passo 5
Distribuindo e recolhendo termos em
:
Passo 6
Como a energia é invariante,
. Igualando as expressões dos Passos 2 e 5:
Cancelam-se os termos com
, sobrando