A carga \mathbb{P} provoca uma inclinação nas espiras da mola equivalente a um ângulo \theta com a horizontal, quando a mola é esticada. Mostre que, para essa posição, ocorre um torque T=P R \cos \theta e momento fletor M=P R \operatorname{sen} \theta na seção transversal. Use esses resultados para determinar a tensão normal máxima no material.

Passo 1

O enunciado trata de uma mola helicoidal de raio R e fio de diâmetro d, submetida a uma carga axial P. Em uma seção qualquer a espira forma um ângulo \theta com a horizontal, e queremos (a) mostrar que nessa seção há um torque T e um momento fletor M dados por
T = P\,R\cos\theta, \qquad M = P\,R\sin\theta,
e (b) usar esses resultados para determinar a máxima tensão normal no material da seção.
Conteúdo: resistência dos materiais — torção, flexão e combinação de tensões.

Passo 2

Análise do braço de alavanca da força P em relação à seção do fio.
– Para o torque em torno do eixo do próprio fio, o braço perpendicular de P é a projeção de R no plano normal ao eixo, ou seja R\cos\theta. Logo
T = P\,(R\cos\theta).
– Para o momento fletor, a componente de P que gera flexão age com braço perpendicular igual a R\sin\theta. Assim
M = P\,(R\sin\theta).

Passo 3

Cálculo das tensões de cisalhamento e de flexão na seção circular de diâmetro d. Seja c = d/2. Para um círculo
J = \frac{\pi d^4}{32}, \qquad I = \frac{\pi d^4}{64}.
– A tensão de cisalhamento máxima por torção é
\tau = \frac{T\,c}{J} = \frac{P\,R\cos\theta\;\tfrac{d}{2}}{\tfrac{\pi d^4}{32}} = \frac{16\,P\,R\cos\theta}{\pi d^3}.
– A tensão normal máxima por flexão é
\sigma_f = \frac{M\,c}{I} = \frac{P\,R\sin\theta\;\tfrac{d}{2}}{\tfrac{\pi d^4}{64}} = \frac{32\,P\,R\sin\theta}{\pi d^3}.

Passo 4

Determinação da tensão normal máxima (maior tensão principal) num estado plano com
\sigma_x=\sigma_f, \sigma_y=0 e \tau_{xy}=\tau. As tensões principais são
\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_f}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_f}{2}\Bigr)^{\!2} + \tau^2}\,.
Tomando o valor maior ( \sigma_1), temos
\frac{\sigma_f}{2} = \frac{1}{2}\,\frac{32\,P\,R\sin\theta}{\pi d^3} = \frac{16\,P\,R\sin\theta}{\pi d^3}, \qquad \tau = \frac{16\,P\,R\cos\theta}{\pi d^3},
e note que
\Bigl(\frac{\sigma_f}{2}\Bigr)^{\!2} + \tau^{2} = \Bigl(\frac{16\,P\,R}{\pi d^3}\Bigr)^{\!2} \bigl(\sin^2\theta + \cos^2\theta\bigr) = \Bigl(\frac{16\,P\,R}{\pi d^3}\Bigr)^{\!2}.
Logo
\sigma_{\max} = \frac{\sigma_f}{2} + \sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_f}{2}\Bigr)^{\!2} + \tau^2} = \frac{16\,P\,R\sin\theta}{\pi d^3} + \frac{16\,P\,R}{\pi d^3} = \frac{16\,P\,R}{\pi d^3}\,\bigl(1+\sin\theta\bigr).

Resposta

A máxima tensão normal no material da seção é
\boxed{ \sigma_{\max} = \frac{16\,P\,R}{\pi\,d^{3}}\;\bigl(1+\sin\theta\bigr). }

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