Dentre todos os números reais x e z tais que 2*x + z = 8, determine aqueles cujo produto é máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar os números reais e que satisfazem a equação e que tenham o produto máximo. Isso entra na área de otimização, onde queremos maximizar o produto de duas variáveis sujeitas a uma restrição linear.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação para expressar uma das variáveis em função da outra. Vou resolver para :
Assim, agora temos em termos de , o que facilita trabalhar com apenas uma variável.

Passo 3

Agora, queremos maximizar o produto . Substituindo na expressão do produto, temos:
Essa é uma função quadrática em termos de . Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de é negativo ( ), a parábola abre para baixo, o que significa que o ponto mais alto da parábola é o máximo da função.

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza , precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice de uma função quadrática é:
No nosso caso, e . Substituindo:

Passo 5

Agora que encontramos , vamos encontrar usando a equação que encontramos no Passo 2:

Resposta

Os números reais que satisfazem e que possuem o produto máximo são e .

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