Dentre todos os números reais
e
tais que
, determine aqueles cujo produto é máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar os números reais
e
que satisfazem a equação
e que tenham o produto
máximo. Isso entra na área de otimização, onde queremos maximizar o produto de duas variáveis sujeitas a uma restrição linear.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a equação
para expressar uma das variáveis em função da outra. Vou resolver para
:
Assim, agora temos
em termos de
, o que facilita trabalhar com apenas uma variável.
Passo 3
Agora, queremos maximizar o produto
. Substituindo
na expressão do produto, temos:
Essa é uma função quadrática em termos de
. Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de
é negativo (
), a parábola abre para baixo, o que significa que o ponto mais alto da parábola é o máximo da função.
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza
, precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice de uma função quadrática
é:
No nosso caso,
e
. Substituindo:
Passo 5
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a equação que encontramos no Passo 2:
Resposta
Os números reais que satisfazem
e que possuem o produto máximo são
e
.