A derivação implícita é uma técnica que possibilita o cálculo de derivadas de funções implicitamente definidas, onde as relações entre as variáveis são complexas e não facilmente isoladas. Usando regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia, é possível encontrar derivadas parciais e totais, expandindo as possibilidades de resolução de problemas na matemática aplicada em áreas como física, engenharia e economia. Com base nesse tema, seja a função definida implicitamente como: x 2 - 4 x y + y 2 = 4 Qual é a expressão de d y d x obtida por derivação implícita?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação $ x^2 - 4xy + y^2 = 4 $. Nosso objetivo é encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, usando a técnica de derivação implícita. Isso porque a equação mistura $ x $ e $ y $ de forma que não dá pra isolar facilmente $ y $. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $. Começando com $ x^2 $. A derivada de $ x^2 $ em relação a $ x $ é:
Passo 3
Agora, vamos derivar o termo $ -4xy $. Aqui temos um produto de $ x $ e $ y $, então vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $. Aplicando isso:
Passo 4
Seguimos com o termo $ y^2 $. Como $ y $ é função de $ x $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ y^2 $ é:
Passo 5
Do outro lado da equação, temos o número 4. A derivada de uma constante é zero:
Passo 6
Agora, juntamos tudo que derivamos:
Vamos distribuir o -4:
Agora, agrupamos os termos com $ \frac{dy}{dx} $:
Fatoramos $ \frac{dy}{dx} $:
Finalmente, isolamos $ \frac{dy}{dx} $:
Resposta
A expressão de $ \frac{dy}{dx} $ é: