A derivada
é algumas vezes chamada de pressão interna, e o produto
, de pressão térmica. Encontre equações para o seu cálculo para:
Um gás ideal.
Um gás ideal.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
- Pedem para encontrar equações para calcular:
- a pressão interna
; - a pressão térmica
.
- a pressão interna
- O sistema é um gás ideal, cuja equação de estado vale
onde
é a pressão,
o volume,
a temperatura absoluta,
o número de mols e
a constante dos gases ideais.
- Objetivo: obter expressões (fórmulas) para
e para no caso do gás ideal, e interpretar o resultado.
Passo 2
Relacionando
com derivadas de
e
a partir da identidade termodinâmica.
- A primeira lei em forma diferencial para energia interna e entropia dá a identidade termodinâmica
Aqui
é a energia interna,
a entropia,
a temperatura e
a pressão.
- Escrevendo
em derivadas parciais:
- Substituindo em
obtemos
- Lendo o coeficiente de
à temperatura constante ( ) obtemos a relação geral
Expliquei cada símbolo:
é a variação da energia interna quando se altera
mantendo
fixo;
é a variação da entropia com
a
fixo.
Passo 3
Usando uma relação de Maxwell para trocar
por
.
- Considere a energia livre de Helmholtz
Diferenciando,
Usando
dá
- Da expressão acima, identificamos
- Como as derivadas mistas de
são iguais, vem a relação de Maxwell
- Substituindo essa relação na expressão do Passo 2 obtemos a identidade geral válida para qualquer substância simples:
Isto é útil porque liga a pressão interna (lado esquerdo) com a variação de pressão com temperatura (lado direito).
Passo 4
Aplicando ao gás ideal: calcule
e
.
- A equação de estado do gás ideal é
- Mantendo
fixo e derivando em relação a ,
- Multiplicando por
obtemos
- Usando novamente
(equação de estado), conclui-se que
Ou seja, para o gás ideal a chamada “pressão térmica” é exatamente a pressão mecânica
.
Passo 5
Conclusão final para a pressão interna do gás ideal.
- Substituindo o resultado do Passo 4 na identidade do Passo 3:
- Interpretação física curta e útil para a prova: em um gás ideal a energia interna
depende apenas de (por exemplo, para um gás monoatômico ideal ), não depende de . Portanto a derivada à temperatura fixa é zero, e a pressão térmica coincide com .