A derivada (\partial U / \partial V)_{T} é algumas vezes chamada de pressão interna, e o produto T(\partial P / \partial T)_{V}, de pressão térmica. Encontre equações para o seu cálculo para:
Um gás ideal.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pedem para encontrar equações para calcular:
    1. a pressão interna \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T};
    2. a pressão térmica T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.
  • O sistema é um gás ideal, cuja equação de estado vale
P V = n R T,
onde P é a pressão, V o volume, T a temperatura absoluta, n o número de mols e R a constante dos gases ideais.
  • Objetivo: obter expressões (fórmulas) para \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} e para T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} no caso do gás ideal, e interpretar o resultado.

Passo 2

Relacionando \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} com derivadas de P e S a partir da identidade termodinâmica.
  • A primeira lei em forma diferencial para energia interna e entropia dá a identidade termodinâmica
dU = T\,dS - P\,dV.
Aqui U é a energia interna, S a entropia, T a temperatura e P a pressão.
  • Escrevendo dS em derivadas parciais:
dS = \left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_{V} dT + \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} dV.
  • Substituindo em dU obtemos
dU = T\left(\dfrac{\partial S}{\partial T}\right)_{V} dT + \Bigl[\,T\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} - P\,\Bigr] dV.
  • Lendo o coeficiente de dV à temperatura constante ( dT=0) obtemos a relação geral
\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} - P.
Expliquei cada símbolo: \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} é a variação da energia interna quando se altera V mantendo T fixo; \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} é a variação da entropia com V a T fixo.

Passo 3

Usando uma relação de Maxwell para trocar \left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} por \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.
  • Considere a energia livre de Helmholtz F = U - T S. Diferenciando,
dF = dU - T\,dS - S\,dT.
Usando dU = T\,dS - P\,dV
dF = -S\,dT - P\,dV.
  • Da expressão acima, identificamos
S = -\left(\dfrac{\partial F}{\partial T}\right)_{V},\qquad P = -\left(\dfrac{\partial F}{\partial V}\right)_{T}.
  • Como as derivadas mistas de F(T,V) são iguais, vem a relação de Maxwell
\left(\dfrac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} = \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.
  • Substituindo essa relação na expressão do Passo 2 obtemos a identidade geral válida para qualquer substância simples:
\boxed{\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - P.}
Isto é útil porque liga a pressão interna (lado esquerdo) com a variação de pressão com temperatura (lado direito).

Passo 4

Aplicando ao gás ideal: calcule \left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} e T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.
  • A equação de estado do gás ideal é
P V = n R T.
  • Mantendo V fixo e derivando em relação a T,
\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = \dfrac{n R}{V}.
  • Multiplicando por T obtemos
T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = \dfrac{n R T}{V}.
  • Usando novamente P = \dfrac{n R T}{V} (equação de estado), conclui-se que
\boxed{T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} = P.}
Ou seja, para o gás ideal a chamada “pressão térmica” é exatamente a pressão mecânica P.

Passo 5

Conclusão final para a pressão interna do gás ideal.
  • Substituindo o resultado do Passo 4 na identidade do Passo 3:
\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T} = T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - P = P - P = 0.
  • Interpretação física curta e útil para a prova: em um gás ideal a energia interna U depende apenas de T (por exemplo, para um gás monoatômico ideal U = \tfrac{3}{2}nRT), não depende de V. Portanto a derivada à temperatura fixa é zero, e a pressão térmica coincide com P.

Resposta

\left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0
T\left(\dfrac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}=P

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