Derive a equação de onda para a intensidade de campo elétrico (equação de Helmholtz) para um meio dielétrico ideal, não-magnético, isotrópico, linear e não-homogêneo, no qual
. Considere a dependência temporal de acordo com
.
Passo 1
O enunciado pede: derivar a equação de onda (equação de Helmholtz) para o campo elétrico no caso de um meio dielétrico ideal, não-magnético, isotrópico, linear e não-homogêneo com permittividade
. A dependência temporal é harmônica com
, ou seja o campo elétrico pode ser escrito como
, onde
é a amplitude complexa espacial (tempo “fatorado” pela exponencial).\n\nInformações relevantes dadas:
- Meio não-magnético: a permeabilidade magnética é
(constante). - Meio linear, isotrópico e ideal (sem perdas): não há condutividade livre,
. - Não-homogêneo:
depende da posição. - Dependência temporal: todos os campos variam como
. - Supõe-se ausência de correntes livres e de cargas livres (meio dielétrico ideal):
e .\n\nO que é pedido explicitamente: obter a equação diferencial que governa (a forma de Helmholtz apropriada para ).
Passo 2
Escrever as equações de Maxwell no domínio frequência (harmônico). Para campos com dependência temporal
as equações de Maxwell (no sistema SI) ficam:
Aqui cada símbolo significa:
-
: amplitude complexa do campo elétrico (função espacial). -
: amplitude complexa do campo magnético. -
: deslocamento elétrico. -
: fluxo magnético. -
: frequência angular. -
: unidade imaginária.
Como assumido:e .
As relações constitutivas do meio são (meio linear e isotrópico):
Passo 3
Eliminar
e obter uma equação só para
. Tome o rotacional da primeira equação
:
Como
e
é constante,
Substituindo na equação anterior:
Agora use a segunda equação de Maxwell sem correntes livres (
):
Finalmente substitua
:
Esta identidade já é uma forma exata (e compacta) da equação de onda em meios não-homogêneos — é a forma “curl–curl” do problema.
Passo 4
Explicar e usar a identidade vetorial que liga
ao laplaciano vetorial. A identidade vetorial padrão é:
onde
é o laplaciano vetorial aplicado componente a componente a
. Substituindo na equação obtida no Passo 3:
Passo 5
Usar a condição de ausência de cargas livres no domínio e a relação
para obter
. Como
, tem-se:
Expandindo o divergente do produto (produto escalar de gradiente):
Isolando
:
Observação didática: isto diz que, em meios não-homogêneos, o campo elétrico pode ter componente divergente ligada ao gradiente espacial de
. Em meios homogêneos (
const) esse termo some e
.
Passo 6
Substituir
na equação do Passo 4 para obter a forma explícita (explicada) da equação de Helmholtz. Usando
, a equação fica:
Reorganizando para uma forma corrente (laplaciano mais termos):
Passo 7
Apresentar as duas formas usuais da equação de onda/Helmholtz para
, deixar claro o significado dos termos e mostrar o limite homogêneo. Formas equivalentes úteis:
- Forma compacta (curl–curl), muito usada em eletromagnetismo:
Aqui o termo
corresponde a um número de onda ao quadrado dependente da posição: define-se frequentemente
.
- Forma expandida usando o laplaciano e o termo de divergência (útil para ver o efeito do gradiente de
):
No caso homogêneo (
constante) tem-se
, o terceiro termo some e as formas reduzem a:
que é a forma escalar/comum da equação de Helmholtz aplicada componente a componente.
Passo 8
Resumo pedagógico e definições finais (para aplicar na prova):
- Começar de Maxwell no domínio da frequência, eliminar
tomando o rotacional de e usando . - Usar identidade vetorial
. - Em meios sem carga livre
leva a , o que introduz o termo de correção quando varia espacialmente. - Definições úteis:
e, se desejar, onde é a permissividade relativa.