Derive a equação de onda para a intensidade de campo elétrico (equação de Helmholtz) para um meio dielétrico ideal, não-magnético, isotrópico, linear e não-homogêneo, no qual \varepsilon=\varepsilon(r). Considere a dependência temporal de acordo com E=E(r) \cdot \exp (j \cdot \omega \cdot t).

Passo 1

O enunciado pede: derivar a equação de onda (equação de Helmholtz) para o campo elétrico no caso de um meio dielétrico ideal, não-magnético, isotrópico, linear e não-homogêneo com permittividade \varepsilon=\varepsilon(r). A dependência temporal é harmônica com \exp(j\omega t), ou seja o campo elétrico pode ser escrito como \,E(r,t)=E(r)\,\exp(j\omega t), onde E(r) é a amplitude complexa espacial (tempo “fatorado” pela exponencial).\n\nInformações relevantes dadas:
  • Meio não-magnético: a permeabilidade magnética é \mu=\mu_0 (constante).
  • Meio linear, isotrópico e ideal (sem perdas): não há condutividade livre, \sigma=0.
  • Não-homogêneo: \varepsilon=\varepsilon(r) depende da posição.
  • Dependência temporal: todos os campos variam como \exp(j\omega t).
  • Supõe-se ausência de correntes livres e de cargas livres (meio dielétrico ideal): \mathbf{J}_{\text{free}}=0 e \rho_{\text{free}}=0.\n\nO que é pedido explicitamente: obter a equação diferencial que governa E(r) (a forma de Helmholtz apropriada para \varepsilon(r)).

Passo 2

Escrever as equações de Maxwell no domínio frequência (harmônico). Para campos com dependência temporal \exp(j\omega t) as equações de Maxwell (no sistema SI) ficam:
\nabla\times E(r) = -j\omega B(r),
\nabla\times H(r) = J_{\text{free}}(r) + j\omega D(r),
\nabla\cdot D(r) = \rho_{\text{free}}(r),
\nabla\cdot B(r) = 0.
Aqui cada símbolo significa:
  • E(r): amplitude complexa do campo elétrico (função espacial).
  • H(r): amplitude complexa do campo magnético.
  • D(r): deslocamento elétrico.
  • B(r): fluxo magnético.
  • \omega: frequência angular.
  • j: unidade imaginária.
    Como assumido: J_{\text{free}}=0 e \rho_{\text{free}}=0.
As relações constitutivas do meio são (meio linear e isotrópico):
D(r)=\varepsilon(r)\,E(r), \qquad B(r)=\mu_0\,H(r).

Passo 3

Eliminar H e obter uma equação só para E. Tome o rotacional da primeira equação \nabla\times E = -j\omega B:
\nabla\times(\nabla\times E) = -j\omega \nabla\times B.
Como B=\mu_0 H e \mu_0 é constante,
\nabla\times B = \mu_0 \nabla\times H.
Substituindo na equação anterior:
\nabla\times(\nabla\times E) = -j\omega \mu_0 \nabla\times H.
Agora use a segunda equação de Maxwell sem correntes livres ( \nabla\times H = j\omega D):
\nabla\times(\nabla\times E) = -j\omega \mu_0 (j\omega D) = \omega^2 \mu_0 D.
Finalmente substitua D=\varepsilon(r)E:
\nabla\times(\nabla\times E(r)) = \omega^2 \mu_0 \varepsilon(r)\,E(r).
Esta identidade já é uma forma exata (e compacta) da equação de onda em meios não-homogêneos — é a forma “curl–curl” do problema.

Passo 4

Explicar e usar a identidade vetorial que liga \nabla\times(\nabla\times E) ao laplaciano vetorial. A identidade vetorial padrão é:
\nabla\times(\nabla\times E) = \nabla(\nabla\cdot E) - \nabla^2 E,
onde \nabla^2 E é o laplaciano vetorial aplicado componente a componente a E. Substituindo na equação obtida no Passo 3:
\nabla(\nabla\cdot E(r)) - \nabla^2 E(r) = \omega^2 \mu_0 \varepsilon(r)\,E(r).

Passo 5

Usar a condição de ausência de cargas livres no domínio e a relação D=\varepsilon(r)E para obter \nabla\cdot E. Como \nabla\cdot D = \rho_{\text{free}}=0, tem-se:
\nabla\cdot(\varepsilon(r) E(r)) = 0.
Expandindo o divergente do produto (produto escalar de gradiente):
\nabla\varepsilon(r)\cdot E(r) + \varepsilon(r)\,\nabla\cdot E(r) = 0.
Isolando \nabla\cdot E(r):
\nabla\cdot E(r) = -\dfrac{\nabla\varepsilon(r)\cdot E(r)}{\varepsilon(r)}.
Observação didática: isto diz que, em meios não-homogêneos, o campo elétrico pode ter componente divergente ligada ao gradiente espacial de \varepsilon. Em meios homogêneos ( \varepsilon= const) esse termo some e \nabla\cdot E=0.

Passo 6

Substituir \nabla\cdot E(r) na equação do Passo 4 para obter a forma explícita (explicada) da equação de Helmholtz. Usando \nabla(\nabla\cdot E) = \nabla\!\Big(-\dfrac{\nabla\varepsilon\cdot E}{\varepsilon}\Big) = -\nabla\!\Big(\dfrac{\nabla\varepsilon(r)\cdot E(r)}{\varepsilon(r)}\Big), a equação fica:
- \nabla^2 E(r) - \nabla\!\Big(\dfrac{\nabla\varepsilon(r)\cdot E(r)}{\varepsilon(r)}\Big) = \omega^2 \mu_0 \varepsilon(r)\,E(r).
Reorganizando para uma forma corrente (laplaciano mais termos):
\nabla^2 E(r) + \omega^2 \mu_0 \varepsilon(r)\,E(r) + \nabla\!\Big(\dfrac{\nabla\varepsilon(r)\cdot E(r)}{\varepsilon(r)}\Big) = 0.

Passo 7

Apresentar as duas formas usuais da equação de onda/Helmholtz para E(r), deixar claro o significado dos termos e mostrar o limite homogêneo. Formas equivalentes úteis:
  • Forma compacta (curl–curl), muito usada em eletromagnetismo:
\nabla\times(\nabla\times E(r)) - \omega^2 \mu_0 \varepsilon(r)\,E(r) = 0.
Aqui o termo \omega^2\mu_0\varepsilon(r) corresponde a um número de onda ao quadrado dependente da posição: define-se frequentemente k^2(r)=\omega^2\mu_0\varepsilon(r).
  • Forma expandida usando o laplaciano e o termo de divergência (útil para ver o efeito do gradiente de \varepsilon):
\nabla^2 E(r) + \omega^2 \mu_0 \varepsilon(r)\,E(r) + \nabla\!\Big(\dfrac{\nabla\varepsilon(r)\cdot E(r)}{\varepsilon(r)}\Big) = 0.
No caso homogêneo ( \varepsilon(r)= constante) tem-se \nabla\varepsilon=0, o terceiro termo some e as formas reduzem a:
\nabla^2 E + \omega^2 \mu_0 \varepsilon\,E = 0,
que é a forma escalar/comum da equação de Helmholtz aplicada componente a componente.

Passo 8

Resumo pedagógico e definições finais (para aplicar na prova):
  • Começar de Maxwell no domínio da frequência, eliminar H tomando o rotacional de \nabla\times E e usando \nabla\times H = j\omega\varepsilon E.
  • Usar identidade vetorial \nabla\times(\nabla\times E)=\nabla(\nabla\cdot E)-\nabla^2 E.
  • Em meios sem carga livre \nabla\cdot(\varepsilon E)=0 leva a \nabla\cdot E = -(\nabla\varepsilon\cdot E)/\varepsilon, o que introduz o termo de correção quando \varepsilon varia espacialmente.
  • Definições úteis: k(r)=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon(r)} e, se desejar, \varepsilon(r)=\varepsilon_0 \varepsilon_r(r) onde \varepsilon_r é a permissividade relativa.

Resposta

\nabla\times\big(\nabla\times E(r)\big) - \omega^2 \mu_0 \varepsilon(r)\,E(r) = 0
\text{equivalente a}\qquad \nabla^2 E(r) + \omega^2 \mu_0 \varepsilon(r)\,E(r) + \nabla\!\Big(\dfrac{\nabla\varepsilon(r)\cdot E(r)}{\varepsilon(r)}\Big) = 0

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