Se H=10 \cdot \sin (\omega \cdot t-4 \cdot z) \hat{\mathbf{i}}[\mathrm{mA} / \mathrm{m}] em um material onde \sigma=0, \mu=\mu_{0} e \varepsilon=4 \cdot \varepsilon_{0}, calcule:
(a) Cálculo de \lambda
(b) Cálculo de \omega
(c) Cálculo dos J e J_{d}

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético
\mathbf{H}(t,z)=10\sin(\omega t-4z)\,\hat{\mathbf{i}}\\ \\ [\text{mA/m}],
e as propriedades do meio:
\sigma=0,\qquad \mu=\mu_{0},\qquad \varepsilon=4\varepsilon_{0}.
O que pede:
(a) calcular \lambda (comprimento de onda);
(b) calcular \omega (frequência angular);
(c) calcular \mathbf{J} (densidade de corrente de condução) e \mathbf{J}_{d} (densidade de corrente de deslocamento).

Passo 2

Identificar o número de onda k. No argumento da função seno o termo multiplicando z é exatamente o número de onda k (unidade: rad/m). Portanto
k=4\\ \text{rad/m}.
A relação entre comprimento de onda \lambda e k é
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
Substituindo k=4:
\lambda=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \text{m}\approx1,571\\ \text{m}.

Passo 3

Para achar \omega precisamos da velocidade de fase v da onda no meio. A velocidade de propagação num dielétrico sem perdas é
v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
Como \mu=\mu_{0} e \varepsilon=4\varepsilon_{0},
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}(4\varepsilon_{0})}}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}=\frac{c}{2},
onde c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Assim
v\approx\frac{3,00\times10^{8}}{2}=1,50\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Relação entre \omega, k e v:
\omega = v k.
Substituindo v=c/2 e k=4:
\omega = \frac{c}{2}\cdot 4 = 2c.
Numericamente,
\omega \approx 2\cdot 3,00\times10^{8}=6,00\times10^{8}\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Para achar as correntes precisamos do campo elétrico \mathbf{E}. Em uma onda eletromagnética plana homogênea e lossless a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{H} é dada por
\mathbf{E}=\eta\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{H},
onde \hat{\mathbf{k}} é o versor de propagação (aqui \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{z}}) e \eta é a impedância intrínseca do meio:
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.
Calcule \eta:
\eta=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{4\varepsilon_{0}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}=\frac{\eta_{0}}{2},
onde \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}\approx 376{,}73\\ \Omega. Assim
\eta\approx\frac{376{,}73}{2}=188{,}37\\ \Omega.
Converter amplitude de \mathbf{H} de \mathrm{mA/m} para \mathrm{A/m}:
H_{0}=10\\ \mathrm{mA/m}=10\times10^{-3}\\ \mathrm{A/m}=0{,}01\\ \mathrm{A/m}.
Direção: \hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{y}}. Então o campo elétrico é
\mathbf{E}(t,z)=E_{0}\sin(\omega t-4z)\,\hat{\mathbf{y}}, \qquad E_{0}=\eta H_{0}.
Calcule E_{0}:
E_{0}\approx 188{,}37\times0{,}01=1{,}8837\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Densidade de corrente de condução \mathbf{J}: lei de Ohm local
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}.
Como \sigma=0,
\mathbf{J}=\mathbf{0}\qquad\text{(zero em todo o espaço)}.ç

Passo 7

Densidade de corrente de deslocamento \mathbf{J}_{d} é a derivada temporal do deslocamento elétrico:
\mathbf{J}_{d}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
Temos \mathbf{E}(t,z)=E_{0}\sin(\omega t-4z)\,\hat{\mathbf{y}}, logo
\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}= \omega E_{0}\cos(\omega t-4z)\,\hat{\mathbf{y}}.
Como \varepsilon=4\varepsilon_{0},
\mathbf{J}_{d}(t,z)=\varepsilon\omega E_{0}\cos(\omega t-4z)\,\hat{\mathbf{y}}.
Agora numérico: usar \varepsilon=4\varepsilon_{0}\approx4\times8{,}854\times10^{-12}=3,5416\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}, \omega\approx6,00\times10^{8}\\ \mathrm{rad/s} e E_{0}\approx1{,}8837\\ \mathrm{V/m}. O módulo da amplitude é
\varepsilon\omega E_{0}\approx 3{,}5416\times10^{-11}\cdot6{,}00\times10^{8}\cdot1{,}8837\approx0{,}0400\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Portanto
\mathbf{J}_{d}(t,z)\approx 0{,}0400\cos(\omega t-4z)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Resposta

(a) \lambda=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{m}\approx1{,}571\\ \text{m}
(b) \omega=2c\approx6{,}00\times10^{8}\\ \text{rad/s}
(c) \mathbf{J}=\mathbf{0} \
\mathbf{J}_{d}(t,z)=\varepsilon\omega E_{0}\cos(\omega t-4z)\,\hat{\mathbf{y}}\approx0{,}0400\cos(\omega t-4z)\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{A/m^{2}}

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