1. Derive \frac{\operatorname{sec} (x)}{1+\tan (x)}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\frac{\operatorname{sec}(x)}{1+\tan(x)}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a razão entre \operatorname{sec}(x) e 1+\tan(x).
  • Precisa-se encontrar f'(x), a derivada em relação a x.
    Não vou resolver ainda; só listei o que o problema pede e o que foi dado.

Passo 2

Uma ideia prática antes de aplicar regras de derivação: simplificar a expressão usando identidades trigonométricas básicas. Lembrando que
\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)},\qquad \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
Substituindo na função:
f(x)=\frac{\dfrac{1}{\cos(x)}}{1+\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}}.
Colocando o denominador num único quociente:
f(x)=\frac{\dfrac{1}{\cos(x)}}{\dfrac{\cos(x)+\sin(x)}{\cos(x)}}.
Cancelando o fator \dfrac{1}{\cos(x)}:
f(x)=\frac{1}{\cos(x)+\sin(x)}.
Essa forma é muito mais simples para derivar.

Passo 3

Agora explico a regra de derivação que vou usar, de um jeito bem didático.
  • Regra do quociente inverso (ou regra da função recíproca): se f(x)=\dfrac{1}{u(x)}, então
f'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}.
Isto é uma aplicação da regra da cadeia: f(x)=(u(x))^{-1} e \dfrac{d}{dx}u^{-1}=-1\cdot u^{-2}\cdot u'.
  • Derivadas básicas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Aqui u(x) será u(x)=\cos(x)+\sin(x). Vou identificar explicitamente o que é cada coisa: u(x) é a função no denominador; u'(x) é a sua derivada; f'(x) é a derivada que queremos.

Passo 4

Calcule u(x) e u'(x):
u(x)=\cos(x)+\sin(x).
Aplicando as derivadas acima:
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)+\frac{d}{dx}\sin(x)=-\sin(x)+\cos(x)=\cos(x)-\sin(x).

Passo 5

Agora aplico a fórmula da derivada da recíproca:
f'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}.
Substituindo u'(x) e u(x):
f'(x)=-\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\bigl(\cos(x)+\sin(x)\bigr)^2}.
Simplificando o sinal no numerador:
f'(x)=\frac{\sin(x)-\cos(x)}{\bigl(\cos(x)+\sin(x)\bigr)^2}.

Passo 6

(Verificação alternativa rápida — opcional) Se alguém preferir usar a regra do quociente direto em \dfrac{\operatorname{sec}(x)}{1+\tan(x)}, obtém-se depois de simplificar com identidades trigonométricas exatamente a mesma expressão. Isso confirma que a simplificação feita no Passo 2 foi segura e que o resultado está consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin(x)-\cos(x)}{\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)^2}