- Derive
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações relevantes dadas:
- A função é a razão entre
e . - Precisa-se encontrar
, a derivada em relação a .
Não vou resolver ainda; só listei o que o problema pede e o que foi dado.
Passo 2
Uma ideia prática antes de aplicar regras de derivação: simplificar a expressão usando identidades trigonométricas básicas. Lembrando que
Substituindo na função:
Colocando o denominador num único quociente:
Cancelando o fator
:
Essa forma é muito mais simples para derivar.
Passo 3
Agora explico a regra de derivação que vou usar, de um jeito bem didático.
- Regra do quociente inverso (ou regra da função recíproca): se
, então
Isto é uma aplicação da regra da cadeia:
e
.
- Derivadas básicas das funções trigonométricas:
Aqui
será
. Vou identificar explicitamente o que é cada coisa:
é a função no denominador;
é a sua derivada;
é a derivada que queremos.
Passo 4
Calcule
e
:
Aplicando as derivadas acima:
Passo 5
Agora aplico a fórmula da derivada da recíproca:
Substituindo
e
:
Simplificando o sinal no numerador:
Passo 6
(Verificação alternativa rápida — opcional) Se alguém preferir usar a regra do quociente direto em
, obtém-se depois de simplificar com identidades trigonométricas exatamente a mesma expressão. Isso confirma que a simplificação feita no Passo 2 foi segura e que o resultado está consistente.