Derive as funções abaixo:
f(x)=\ln \left(e^{-x} \cos (\pi x)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(e^{-x}\cos(\pi x)\bigr).
Vamos usar as propriedades de logaritmo (para simplificar o argumento) e em seguida aplicar a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos \ln(a b)=\ln a+\ln b e \ln(e^{-x})=-x. Logo,
f(x)=\ln(e^{-x})+\ln\bigl(\cos(\pi x)\bigr) =-x+\ln\bigl(\cos(\pi x)\bigr).

Passo 3

Derivando termo a termo,
\frac{d}{dx}(-x)=-1 \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\ln\bigl(\cos(\pi x)\bigr) =\frac{1}{\cos(\pi x)}\cdot\bigl(-\sin(\pi x)\bigr)\cdot\pi =-\pi\,\frac{\sin(\pi x)}{\cos(\pi x)} =-\pi\tan(\pi x).
Somando,
f'(x)=-1-\pi\tan(\pi x).

Resposta

f'(x)=-1-\pi\tan(\pi x).

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