Derive as funções:
f(x)=\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\biggl(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\biggr)^{3}.
O conteúdo necessário é a regra da cadeia (para a potência cúbica) e a regra do quociente (para \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}).

Passo 2

Definimos
g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1},
de modo que
f(x)=[\,g(x)\,]^{3}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=3\,[\,g(x)\,]^{2}\,\cdot g'(x).

Passo 3

Para g'(x), use a regra do quociente. Seja
u(x)=x^{2}+1,\quad v(x)=x^{2}-1,
então
u'(x)=2x,\quad v'(x)=2x
e
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{2x(x^{2}-1)-2x(x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Simplificando o numerador:
2x\bigl(x^{2}-1 - (x^{2}+1)\bigr) =2x(-2) =-4x,
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g'(x)=-\frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x):
f'(x) =3\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{2} \cdot\biggl(-\frac{4x}{(x^{2}-1)^{2}}\biggr) =-\frac{12x\,(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{4}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{12x\,(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{4}}.

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