Derive \log \left(\operatorname{tanh} z^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(z)=\log\bigl(\operatorname{tanh}(z^{2})\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia, a derivada do logaritmo e a derivada de \operatorname{tanh} u, que é \sech^{2}u.

Passo 2

Escrevemos f(z) como composição f(z)=\log\bigl(g(z)\bigr) com
g(z)=\operatorname{tanh}\bigl(z^{2}\bigr).
Pela derivada de logaritmo,
f'(z)=\frac{g'(z)}{g(z)}.

Passo 3

Agora calculamos g'(z). Como g(z)=\operatorname{tanh}(u) com u=z^{2}, aplicamos a regra da cadeia duas vezes: primeiro a derivada de \operatorname{tanh} u em relação a u, depois de u=z^{2} em relação a z.
A derivada de \operatorname{tanh} u é
\frac{d}{du}\operatorname{tanh}(u)=\sech^{2}(u),
e
\frac{d}{dz}\bigl(z^{2}\bigr)=2z.
Logo,
g'(z)=\sech^{2}\bigl(z^{2}\bigr)\cdot 2z.

Passo 4

Substituindo g(z) e g'(z) em f'(z)=g'(z)/g(z), obtemos
f'(z) =\frac{2z\,\sech^{2}\bigl(z^{2}\bigr)}{\operatorname{tanh}\bigl(z^{2}\bigr)}.
Podemos deixar a resposta nessa forma ou usar identidades hiperbólicas. Por exemplo, como \sech^{2}u/\operatorname{tanh} u=1/(\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u), uma forma equivalente é
f'(z)=\frac{2z}{\operatorname{sinh}\bigl(z^{2}\bigr)\,\operatorname{cosh}\bigl(z^{2}\bigr)}.

Resposta

\boxed{f'(z)=\frac{2z\,\sech^{2}\bigl(z^{2}\bigr)}{\operatorname{tanh}\bigl(z^{2}\bigr)}.}

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