Derive as seguintes funções
f(x)=\left[\ln \left(1+e^{x}\right)\right]^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\bigl[\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)\bigr]^{2}.
O conteúdo envolvido é derivada de função composta (regra da cadeia), derivada de logaritmo natural e derivada de exponencial.

Passo 2

Definimos a função intermediária
g(x)=\ln\bigl(1+e^{x}\bigr),
de modo que
f(x)=\bigl[g(x)\bigr]^{2}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x).

Passo 3

Agora calculamos
g'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(1+e^{x}\bigr) =\frac{1}{1+e^{x}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1+e^{x}\bigr) =\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=2\,g(x)\,g'(x), obtemos
f'(x) =2\;\ln\bigl(1+e^{x}\bigr)\;\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.

Resposta

f'(x)=2\,\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\;\ln\bigl(1+e^{x}\bigr).

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