Derive as seguintes funções
f(x)=\ln (\sqrt[5]{x});

Passo 1

O enunciado quer a derivada de
f(x)=\ln\bigl(\sqrt[5]{x}\bigr)
O conteúdo aqui envolve a propriedade dos logaritmos \ln(a^b)=b\ln(a) e a derivada de \ln(x), que é dada por \frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.

Passo 2

Aplicando a propriedade do logaritmo temos
f(x)=\ln\bigl(x^{1/5}\bigr)=\tfrac{1}{5}\,\ln(x).

Passo 3

Agora derivamos usando que \frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\tfrac{1}{x} e que \tfrac{1}{5} é constante:
f'(x)=\tfrac{1}{5}\,\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr] =\tfrac{1}{5}\,\frac{1}{x} =\frac{1}{5x}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{5x}.

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