Derive:
y=e^{\operatorname{tg}\left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede derivar a função
y = e^{\operatorname{tg}\bigl(x^{2}\bigr)}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos identificar as camadas de composição. Defina
u = \operatorname{tg}\bigl(x^{2}\bigr),
assim y = e^{u}. Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Derivando y = e^{u} em relação a u, usamos
\frac{d}{du}e^{u} = e^{u},
logo
\frac{dy}{du} = e^{u}.

Passo 4

Agora, para \displaystyle u = \operatorname{tg}\bigl(x^{2}\bigr), aplicamos de novo a regra da cadeia. Defina
v = x^{2},
de modo que u = \operatorname{tg}(v). Então
\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv}\,\frac{dv}{dx}.

Passo 5

Sabemos que
\frac{d}{dv}\operatorname{tg}(v) = \operatorname{sec}^{2}(v) \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}x^{2} = 2x.
Portanto
\frac{du}{dx} = \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x.

Passo 6

Reunindo tudo pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\,\frac{du}{dx} = e^{u}\,\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x^{2})\cdot 2x\bigr).
Substituindo u = \operatorname{tg}(x^{2}), resulta
\frac{dy}{dx} = 2x\,e^{\operatorname{tg}(x^{2})}\,\operatorname{sec}^{2}(x^{2}).

Resposta

y' = 2x\,e^{\operatorname{tg}(x^{2})}\,\operatorname{sec}^{2}(x^{2}).

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