Derive:
y=e^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = e^{\operatorname{tg}x}
e pede sua derivada. O conteúdo aqui é a regra da cadeia, pois temos uma exponencial composta com a função interna u(x)=\operatorname{tg}x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia: se y = e^{u(x)}, então
y' = e^{u(x)} \,\cdot\, u'(x).
Aqui u(x)=\operatorname{tg}x, logo
y' = e^{\operatorname{tg}x} \,\cdot\, \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}x\bigr).

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}x\bigr)=\operatorname{sec}^2x.
Substituindo em y', obtemos
y' = e^{\operatorname{tg}x}\,\operatorname{sec}^2x.

Resposta

y' = e^{\operatorname{tg}x}\,\operatorname{sec}^2x.

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