Derive :
y=e^{\sqrt{3 x+2}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=e^{\sqrt{3x+2}} e pede para derivá‑la em relação a x.
Informações relevantes que temos:
  • A função é uma composição de funções (exponencial sobre raiz quadrada sobre uma função afim).
  • A expressão dentro da raiz é 3x+2, portanto a função está definida para x\ge -\tfrac{2}{3}.
    A tarefa é calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se y depende de u e u depende de x, então
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui convém definir uma cadeia clara de funções:
u=\sqrt{3x+2}=(3x+2)^{1/2},\qquad y=e^{u}.

Passo 3

Calcular \dfrac{dy}{du}. A derivada da exponencial é ela mesma: se y=e^{u} então
\frac{dy}{du}=e^{u}.
Breve explicação: a função e^{t} tem a propriedade de que sua derivada em qualquer ponto é e^{t} novamente; é por isso que escrevemos \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}.

Passo 4

Calcular \dfrac{du}{dx}. Usamos a regra da potência combinada com a cadeia: para u=(3x+2)^{1/2},
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}(3x+2)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(3x+2).
A derivada de 3x+2 é 3. Logo
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}(3x+2)^{-1/2}\cdot 3=\frac{3}{2}(3x+2)^{-1/2}.
Escrever em forma de raiz fica mais legível:
\frac{du}{dx}=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}.

Passo 5

Combinar resultados pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=e^{u}\cdot\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}.
Substituindo u=\sqrt{3x+2} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{3\,e^{\sqrt{3x+2}}}{2\sqrt{3x+2}}.

Passo 6

Comentários finais e domínio: a fórmula obtida vale para x>- \tfrac{2}{3} (pois em x=-\tfrac{2}{3} a raiz é zero e a expressão tem divisão por zero). A função original está definida em x\ge -\tfrac{2}{3}, mas a derivada está bem definida apenas para x>-\tfrac{2}{3}. Note que quando x\to-\tfrac{2}{3}^+ a derivada tende a +\infty.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{3\,e^{\sqrt{3x+2}}}{2\sqrt{3x+2}}