1. Descreva matemáticamente a Lei de Faraday.

Passo 1

O enunciado pede para descrever matematicamente a Lei de Faraday, que faz parte do conteúdo de indução eletromagnética. Para isso, precisamos usar o conceito de fluxo magnético e a definição de força eletromotriz (f.e.m.) induzida.

Passo 2

Definimos primeiro o fluxo magnético \Phi_{B} que atravessa uma superfície S como
\Phi_{B} = \int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A},
onde \mathbf{B} é o campo magnético e d\mathbf{A} é o vetor área orientado.

Passo 3

A forma integral da Lei de Faraday diz que a força eletromotriz induzida \mathcal{E} num circuito fechado C é igual ao negativo da taxa de variação temporal do fluxo magnético:
\mathcal{E} = \oint_{C} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d}{dt}\,\Phi_{B} = -\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.

Passo 4

Aplicando o teorema de Stokes à integral de linha, obtemos a forma diferencial da Lei de Faraday:
\nabla\times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Resposta

A Lei de Faraday, em forma integral, é
\displaystyle \oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A},
e, em forma diferencial, é
\nabla\times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

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