Descreva como é possível obter as tensões de 127 V (RMS) e 220 V (RMS) em sistemas de distribuição trifásicos com 127 V (RMS) de tensão de fase.
Resposta: 127 V (RMS) é obtido entre fase e neutro, enquanto 220 V (RMS) é gerado a partir de duas fases.

Passo 1

O enunciado pede para descrever como se obtêm as tensões \,127\\ \text{V (RMS)} e \,220\\ \text{V (RMS)} em um sistema trifásico cuja tensão de fase é \,127\\ \text{V (RMS)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Tensão de fase (fase para neutro): \,V_{\text{fase}} = 127\\ \text{V (RMS)}.
  • Queremos a tensão entre duas fases (tensão de linha) que é \,220\\ \text{V (RMS)} segundo a resposta dada.
  • Sistema trifásico típico com fases defasadas de 120^\circ entre si e com neutro presente (configuração estrela, ou “Y”) pode fornecer fase-neutro e fase-fase.

Passo 2

Entender palavras-chave e definições (sem cálculo ainda):
  • Definição de tensão de fase: é a tensão entre uma fase e o neutro; denotar por \,V_{\text{fase}}. No enunciado \,V_{\text{fase}}=127\\ \text{V}.
  • Definição de tensão de linha (fase-fase): é a tensão entre duas fases quaisquer; denotar por \,V_{\text{linha}}.
  • Em uma conexão estrela (Y) com neutro central, as tensões de fase são três vetores iguais em módulo e defasados de 120^\circ. A tensão entre duas fases é a diferença vetorial entre as respectivas tensões de fase.
  • Objetivo: mostrar por que a diferença entre duas fases de módulo \,V_{\text{fase}} resulta em \,V_{\text{linha}}=\sqrt{3}\,V_{\text{fase}}, e verificar o valor numérico.

Passo 3

Representação em fasores e cálculo geral da tensão linha em função da tensão de fase.
Escolho duas fases quaisquer, por exemplo fase a e fase b. As tensões de cada fase em relação ao neutro podem ser representadas por fasores de mesmo módulo e defasagem 120^\circ:
V_{aN} = V_{\text{fase}}\angle 0^\circ, \qquad V_{bN} = V_{\text{fase}}\angle (-120^\circ).
A tensão entre as fases a e b é a diferença:
V_{ab} = V_{aN} - V_{bN}.
Queremos o módulo |V_{ab}|. Use a identidade para o quadrado do módulo da diferença de dois vetores de mesmo módulo V_{\text{fase}} com ângulo entre eles \theta=120^\circ:
|V_{ab}|^2 = |V_{aN}|^2 + |V_{bN}|^2 - 2|V_{aN}||V_{bN}|\cos\theta.
Como |V_{aN}|=|V_{bN}|=V_{\text{fase}} e \cos 120^\circ = -\tfrac{1}{2}, substituímos:
|V_{ab}|^2 = V_{\text{fase}}^{2} + V_{\text{fase}}^{2} - 2V_{\text{fase}}^{2}\cos 120^\circ = 2V_{\text{fase}}^{2} - 2V_{\text{fase}}^{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Calcule o termo:
-2V_{\text{fase}}^{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)=+V_{\text{fase}}^{2},
portanto
|V_{ab}|^2 = 2V_{\text{fase}}^{2} + V_{\text{fase}}^{2} = 3V_{\text{fase}}^{2}.
Tomando raiz quadrada:
|V_{ab}| = \sqrt{3}\,V_{\text{fase}}.

Passo 4

Aplicando numericamente com \,V_{\text{fase}}=127\\ \text{V}:
V_{\text{linha}} = \sqrt{3}\,V_{\text{fase}}.
Sabendo que \sqrt{3}\approx 1{,}732, temos
V_{\text{linha}} \approx 1{,}732 \times 127 \approx 219{,}96\\ \text{V}\approx 220\\ \text{V}.
Assim a tensão entre duas fases é aproximadamente \,220\\ \text{V (RMS)}.

Passo 5

Interpretação prática e como obter cada tensão na instalação:
  • Para obter \,127\\ \text{V (RMS)}: ligar o aparelho entre uma fase e o neutro (fase–neutro). Isso entrega \,V_{\text{fase}}=127\\ \text{V}.
  • Para obter \,220\\ \text{V (RMS)}: ligar o aparelho entre duas fases (fase–fase). Isso entrega \,V_{\text{linha}}=\sqrt{3}\,V_{\text{fase}}\approx 220\\ \text{V}.
  • Observação sobre configuração do transformador: isso vale quando o secundário está em estrela (Y) com neutro disponível. Em uma conexão em delta sem neutro não se tem tensão fase–neutro igual a \,127\\ \text{V} a menos que haja um ponto-média ou aterramento especial.

Passo 6

Comentário sobre RMS e pico (para não confundir em provas):
  • As tensões citadas ( 127\\ \text{V} e 220\\ \text{V}) são valores RMS. A tensão de pico de uma senoide é \,V_{\text{pico}}=\sqrt{2}\,V_{\text{RMS}}. Isso é útil se precisar converter para valores de pico em exercícios.

Passo 7

Resumo didático rápido (versão “cola” para prova):
  • Se \,V_{\text{fase}}=127\\ \text{V (RMS)} então \,V_{\text{linha}}=\sqrt{3}\times127\\ \text{V}\approx220\\ \text{V}.
  • Ligar fase–neutro → \,127\\ \text{V}. Ligar fase–fase → \,220\\ \text{V}. Dá para memorizar: linha = \sqrt{3} vezes a fase em sistema estrela.

Resposta

\,127\\ \text{V (RMS)} é obtido entre fase e neutro; \,220\\ \text{V (RMS)} é obtido entre duas fases (pois \,V_{\text{linha}}=\sqrt{3}\,V_{\text{fase}}=\sqrt{3}\times127\\ \text{V}\approx220\\ \text{V}).

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