Descreva qualitativamente o campo elétrico induzido por um campo magnético uniforme variável no tempo. Qual é a forma das linhas de campo elétrico?

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva, de forma qualitativa, o campo elétrico induzido por um campo magnético uniforme que varia no tempo e que diga qual é a forma das linhas de campo elétrico.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (pressuposições que vou usar):
  • Há um campo magnético espacialmente uniforme que depende do tempo: \mathbf{B}(\mathbf{r},t)=B(t)\,\hat{\mathbf{z}} (escolhi o eixo \hat{\mathbf{z}} para fixar ideias).
  • O campo magnético muda com o tempo ( dB/dt\neq0 em geral).
  • Não há indicação de cargas ou correntes externas quebrando a simetria; vou usar a simetria cilíndrica em torno do eixo do campo magnético.
O que preciso entregar: descrição qualitativa do campo elétrico induzido (direção, formato das linhas) e, se útil, a forma dependente do raio.

Passo 2

Por que posso assumir simetria circular?
  • Se \mathbf{B} é uniforme e aponta para \hat{\mathbf{z}} e só depende de t, não existe uma direção privilegiada no plano xy. Logo o campo elétrico induzido esperado deve ser independente do ângulo azimutal \varphi e depender só da distância radial r ao eixo.
  • Além disso não há variação ao longo de z pela hipótese, então espero \partial/\partial z=0.
    Portanto escolho procurar um campo elétrico na forma
\mathbf{E}(r,t)=E_{\varphi}(r,t)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},
ou seja, puramente azimutal (linhas de campo são círculos concêntricos ao eixo).

Passo 3

Apresento a lei integral que relaciona campo elétrico e variação do fluxo magnético (fórmula fundamental que vou usar). Em linguagem integral:
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Explicando cada termo:
  • \oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} é a circulação de \mathbf{E} ao redor do contorno \partial S de uma superfície S.
  • \int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} é o fluxo magnético através de S.
  • O sinal negativo indica que o campo elétrico induzido age para opor-se à variação do fluxo (lembrete útil: essa é a expressão matemática do princípio de oposição, que veremos em detalhe adiante).

Passo 4

Aplicando a lei integral a um círculo de raio r, centrado no eixo z e contido no plano perpendicular a \mathbf{B}. Escolho a orientação do contorno no sentido azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}}. Cálculo do lado esquerdo (circulação):
\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \int_{0}^{2\pi} E_{\varphi}(r,t)\, (r\,d\varphi) = 2\pi r\, E_{\varphi}(r,t).
Agora o lado direito (variação do fluxo). O fluxo através do disco de raio r é \Phi_B(t)=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=B(t)\,\pi r^{2} se o campo magnético ocupa todo o disco. Portanto
-\frac{d}{dt}\Phi_B(t) = -\frac{d}{dt}\big(B(t)\,\pi r^{2}\big) = -\pi r^{2}\,\frac{dB}{dt}.
Igualando os dois lados:
2\pi r\, E_{\varphi}(r,t) = -\pi r^{2}\,\frac{dB}{dt}.
Resolvendo para E_{\varphi} (supondo r\neq 0):
E_{\varphi}(r,t) = -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt}.
Interpretação matemática imediata: o módulo do campo elétrico cresce linearmente com r e é orientado no sentido \hat{\boldsymbol{\varphi}} dado pelo sinal negativo (vamos interpretar o sinal no passo seguinte).

Passo 5

Observações sobre o caso “campo magnético uniforme apenas numa região limitada” (caso físico comum, ex.: solenoide):
  • Se B(t) ocupa apenas um cilindro de raio a (ou seja, \mathbf{B}=B(t)\,\hat{\mathbf{z}} para r<a e \mathbf{B}=0 para r>a), o fluxo através do círculo de raio r é diferente para r<a e r>a:
    • Para r<a: \Phi_B=\pi r^{2}B(t) e obtemos o mesmo resultado anterior, E_{\varphi}(r,t) = -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt}\quad (r<a).
    • Para r>a: \Phi_B=\pi a^{2}B(t) (área do cilindro que contém o campo) e, aplicando a lei, 2\pi r\,E_{\varphi}(r,t) = -\pi a^{2}\,\frac{dB}{dt}que dá E_{\varphi}(r,t) = -\frac{a^{2}}{2r}\,\frac{dB}{dt}\quad (r>a).
  • Resumo do perfil radial nesse caso: E_{\varphi} cresce como r dentro da região onde \mathbf{B} existe e decai como 1/r fora dela. Esse é o comportamento típico em problemas de simetria cilíndrica.

Passo 6

Direção do campo elétrico (interpretação com Lenz):
  • O sinal negativo em \oint\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}= -d\Phi_B/dt é a expressão matemática do princípio de Lenz: o campo elétrico induzido circula de modo a tentar criar um fluxo magnético que se oponha à variação do fluxo original.
  • Exemplo concreto: suponha \mathbf{B} apontando para cima ( +\hat{\mathbf{z}}). Se dB/dt>0 (o fluxo está aumentando para cima), o campo induzido deve gerar um fluxo apontando para baixo para se opor a esse aumento. Uma corrente (ou campo elétrico) que produz fluxo para baixo é orientada de forma que, vista de cima, seja no sentido horário. Assim, para dB/dt>0 e B para cima, \mathbf{E} tem sentido horário visto de cima. Se dB/dt<0, o sentido inverte.
  • Conclusão prática: o sentido azimutal de \mathbf{E} é dado pela regra de Lenz/“polegar” — oppose change — ou, equivalentemente, pela regra da mão direita aplicada à variação do fluxo.

Passo 7

Propriedades qualitativas importantes e diferenças em relação a campos eletrostáticos:
  • As linhas de campo elétrico induzido são linhas fechadas (laços circulares concêntricos) — não começam nem terminam em cargas, porque aqui a origem do campo é a variação do fluxo magnético, não cargas estáticas.
  • O campo elétrico induzido é não-conservativo: \nabla\times\mathbf{E} \neq 0 quando dB/dt\neq0. Isso significa que não existe um potencial escalar global \varphi tal que \mathbf{E}=-\nabla\varphi em toda a região.
  • Fenômenos práticos: esse \mathbf{E} circular gera correntes induzidas em condutores (correntes de Foucault/eddy currents), que aquecem e dissipam energia; também é o princípio básico por trás de transformadores e geradores.

Passo 8

Recapitulando de forma concisa (o que você precisa lembrar para a prova):
  • Para um \mathbf{B}(t)=B(t)\,\hat{\mathbf{z}} com simetria cilíndrica, o campo elétrico induzido é azimutal: \mathbf{E}=E_{\varphi}(r,t)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
  • Se \mathbf{B} está presente em todo o espaço (idealizado),
E_{\varphi}(r,t) = -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt}.
  • Se \mathbf{B} está confinado a um cilindro de raio a,
E_{\varphi}(r,t)=\begin{cases} -\dfrac{r}{2}\,\dfrac{dB}{dt}, & r<a,\\[6pt] -\dfrac{a^{2}}{2r}\,\dfrac{dB}{dt}, & r>a. \end{cases}
  • Em todos os casos as linhas de campo são círculos concêntricos ao eixo do campo magnético e o sentido é dado por Lenz (opõe-se à variação do fluxo).]

Resposta

As linhas de campo elétrico induzido são círculos concêntricos ao eixo do campo magnético variável (linhas fechadas, no sentido azimutal). Para \mathbf{B}(t)=B(t)\,\hat{\mathbf{z}} com simetria cilíndrica tem-se \mathbf{E}=E_{\varphi}(r,t)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} com, no caso idealizado de \mathbf{B} preenchendo o disco de raio r,
E_{\varphi}(r,t) = -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt},
e no caso mais físico de \mathbf{B} confinado a um cilindro de raio a,
E_{\varphi}(r,t)=\begin{cases} -\dfrac{r}{2}\,\dfrac{dB}{dt}, & r<a,\\[6pt] -\dfrac{a^{2}}{2r}\,\dfrac{dB}{dt}, & r>a. \end{cases}]

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