Descrever as superfícies de nível do campo escalar phi: phi(x, y, z) = arccos(x^2 + y^2 - z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descrever as superfícies de nível do campo escalar . Isso está dentro de geometria analítica e cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como manipular funções envolvendo o arco cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. É o conjunto de pontos (x, y, z) onde a função tem um valor constante, digamos k. Então, temos:

Passo 3

Agora, pra simplificar isso, vamos isolar o termo dentro do arco cosseno. Lembre-se que implica que . Então:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar z:
Essa é a equação de uma superfície paraboloide, pois temos z igual a uma soma quadrática de x e y, mais uma constante.

Passo 5

A constante desloca a paraboloide para cima ou para baixo dependendo do valor de k. Como varia entre -1 e 1, isso significa que a posição da paraboloide varia conforme o valor de k que definimos para a superfície de nível.

Resposta

As superfícies de nível do campo escalar são paraboloides da forma:
onde k é a constante que define cada superfície específica.

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