Deseja-se equacionar um modelo matemático para calcular a distribuição de um produto gasoso A que se transfere através da atmosfera. O fluxo molar de A no nível da superfície da terra é conhecido e denotado por NA O, sendo também conhecida a distância de acima do nível da terra a partir da qual pode-se assumir concentração de A igual a zero. O gás A , à medida que se difunde, reage quimicamente para a formação de um composto B, sendo que a reação química é de primeira ordem. Assumindo processo em estado estacionário e difusão apenas devido ao gradiente de concentração (ou seja, é possível desprezar a contribuição advectiva), encontre o perfil de concentrações para o componente A.
(Resp.: CA=NA Om DA B tgh(m de )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás A que está se espalhando na atmosfera a partir do solo. Sabemos a quantidade de gás que está saindo do chão, que é o fluxo molar NA O. Também sabemos que, a uma certa altura de acima do solo, a concentração de A é zero. Além disso, enquanto o gás A se difunde, ele reage quimicamente para formar o composto B, e essa reação é de primeira ordem. O objetivo é encontrar como a concentração de A varia com a altura z.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de difusão e reações químicas de primeira ordem. Vamos usar a equação de estado estacionário para modelar esse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fick para difusão, que relaciona o fluxo de uma substância com o gradiente de concentração:
J = -DA B dCAdz
Aqui, J é o fluxo molar, DA B é o coeficiente de difusão do gás A, e dCAdz é o gradiente de concentração.
Como o processo está em estado estacionário, o fluxo molar J é constante e igual a NA O. Então podemos escrever:
NA O = -DA B dCAdz

Passo 3

Além da difusão, o gás A está se transformando em B por uma reação de primeira ordem. A taxa dessa reação pode ser expressa como:
Taxa de reação = k CA çã
Onde k é a constante da reação. Porém, como estamos em estado estacionário, a quantidade que A está se difundindo para cima é balanceada pela quantidade que está reagindo. Então, podemos incorporar essa reação na nossa equação de difusão.

Passo 4

A equação completa considerando a reação fica assim:
d^2 CAdz^2 - m^2 CA = 0
Onde m é uma constante que relaciona a difusão e a reação, definido por:
m = raizkDA B
Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral envolvendo funções hiperbólicas como cosseno hiperbólico e seno hiperbólico.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é:
CA(z) = A cosh(m z) + B sinh(m z)
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno fornecidas pelo problema.

Passo 6

Temos duas condições de contorno:
  1. No solo ( z=0), o fluxo molar é conhecido: NA O = -DA B dCAdz|z=0.
  2. A concentração no topo ( z=de) é zero: CA(de.
Vamos aplicar a primeira condição para encontrar uma relação entre A e B.
Derivando CA(z):
dCAdz = A m sinh(m z) + B m cosh(m z)
Aplicando z=0:
NA O = -DA B (A m cdot 0 + B m cdot 1) = -DA B B m
Daí, isolamos B:
B = -NA ODA B m

Passo 7

Agora aplicamos a segunda condição de contorno: CA(de.
Substituindo na solução geral:
0 = A cosh(m de
Já sabemos que B = -NA ODA B m, então substituímos:
0 = A cosh(m de
Isolando A:
A = NA ODA B m tanh(m de
Porque tanh(m de.

Passo 8

Agora que temos A e B, substituímos de volta na solução geral:
CA(z) = (NA ODA B m tanh(m de
Podemos simplificar colocando os fatores comuns juntos:
CA(z) = NA Om DA B tanh(m de

Resposta

Portanto, o perfil de concentrações para o componente A é dado por:
CA = NA Om DA B tanh(m de

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